Devoirs extra-scolaires pour étudiants doués et autonomes


Licence de Mathématiques 1ère année

Année 2004-2005
À l'attention d'étudiants doués et autonomes, avec l'aide de mes collègues, je mets ici des sujets, où j'espère que certains pourront apprendre des mathématiques. Je corrigerai toute copie ou essai en réponse à ces sujets. Les thèmes abordés essayent de faire comprendre des notions profondes et importantes des mathématiques, aujourd'hui disparues de l'enseignement des deux premières années d'université (et du lycée), à travers des constructions pas forcément complètement formelles. La manière dont ces thèmes sont abordés essaye aussi de ne pas faire concurrence à un enseignement classique de licence de mathématiques.


Premier sujet

Groupes et géométries. La notion de groupe n'est formalisée que par C. Jordan dans les années 1860. C'est maintenant une notion de base de l'algèbre abstraite. Pourtant, dans les siècles qui ont précédé, en culminant dans les travaux de N. Abel et d'É. Galois, les mathématicien-ne-s manipulaient les groupes de permutations et de symétries. Dans ce problème nous essayons de donner une intuition d'une des plus belle notion de l'algèbre moderne, à partir de dessins et d'objets qui étaient familiers des tout premiers mathématicien-ne-s.

Ce problème appelle une deuxième partie où l'on retrouverait les formules de G. Cardan et de L. Ferrari à partir de la résolubilité des groupes symétriques de degré 3 et 4 obtenue par l'étude du tétraèdre et de ses diagonales.

On est en effet été frappé, en relisant les œuvres d'É. Galois, de son aisance dans la manipulation des fonctions des racines d'un polynôme et de leurs permutations.


images extraites de ce site


Un autre site où est rapidement evoqué la structure des groupes de symétrie des polyèdres réguliers.
Dualité du dodécaèdre et de l'icosaèdre Un des cinq cubes inscrits dans le dodécaèdre
Ces animations sont extraites du site mathworld


Deuxième sujet

Définition de la fonction cosinus. On se propose ici de donner une définition de la fonction cosinus. Pour cela on utilise l'intégrale, l'intégrale dépendant d'un paramètre, les fonctions réciproques et leurs dérivées. Ce sujet, contrairement au précédent, demande une rédaction rigoureuse (sauf peut-être la toute dernière question). Ce sujet vous aidera à acquérir des réflexes poussés dans l'utilisation des définitions de l'intégrale, de la continuité et de la dérivée, c'est-à-dire la manipulation de leurs définitions à l'aide des epsilons et des étas.

On pourrait trouver oisif cette définition compliquée d'une fonction (cosinus) familière et dont les propriétés sont bien connues. Cependant à la fin du XIXe, les mathématicien-ne-s ont entrepris de redéfinir complètement et rigoureusement les mathématiques. D'abord les règles de déduction, puis les entiers et les nombres réels, enfin tous les objets mathématiques. Ce sujet présente un petit morceau de cette (re-)fondation : comment passer des nombres réels, de la continuité, de la dérivée et de l'intégrale à la géométrie. Tous les prémisses utilisés peuvent être à leur tour rigoureusement définis.

Cette démarche bien française a prospéré à la suite de N. Bourbaki, en particulier dans l'enseignement secondaire et supérieure, avant de s'effacer peu à peu pour laisser la place à une utilisation plus importante de l'intuition.

Dernière modification : lundi 21 février 2005
URL: http://www.cmi.univ-mrs.fr/~coulbois/2005/extra/index.html