Algèbre linéaire 2 -- 2013-2014

Algèbre linéaire 2

Licence de Mathématiques 2^e année

Année 2013-2014

Présentation (pré-requis, objectif, contenu, bibliographie)
Évaluation
Organisation (cours, TD)
Calendrier et documents (cours, TD)

Présentation

Compléments sur le déterminant. groupe de permutations d'un ensemble fini, décomposition d'une permutation en produit de cycles disjoints, de transpositions. Signature d'une permutation. Formes n-linéaires alternées sur un espace de dimension n, déterminant sur une base d'un système de vecteurs, changement de base. Déterminant d'une application linéaire, d'une matrice carrée. Caractérisation d'une base, d'un isomorphisme, d'une matrice carrée inversible. Déterminant de la composée de deux endomorphismes, du produit de deux matrices carrées. Développement par rapport à une ligne ou une colonne, cofacteurs et matrice des cofacteurs, déterminant de la transposée d'une matrice carrée. Déterminants extraits et caractérisation du rang d'une matrice. Expression de l'inverse d'une matrice carrée inversible, formules de Cramer.
Réduction des endomorphismes. Anneau des polynômes à coefficients dans R ou C. Formes linéaires, hyperplans. Espace dual, base duale. Application transposée, lien avec les matrices. Valeurs propres, vecteurs propres et sous-espaces propres d'un endomorphisme. Polynôme caractéristique. Théorème de Cayley Hamilton. Endomorphisme diagonalisable, trigonalisable, caractérisation. Réduction simultanée.

Bibliographie :

Révisions : Voici des documents sur l'algèbre linéaire niveau L1 qui vous permettront de vous remettre à niveau:
- Cours de R. Herbin (très détaillé, il permet de revoir les notions de base en profondeur)
- Cours/Questions de R. :Rolland
- Le site de B. Ycart (choisir le chapitre puis télécharger le pdf en en-tête)
Réferences bibliographiques pour ce cours (vous pourrez trouver ces livres à la bibliothèque universitaire) ::
- Algèbre Linéaire par J. Grifone (2^e édition), Cepadues-Editions
- Exercices d'algèbre linéaire et bilinéaire par J.-B. Hiriart-Urruty et Y. Plusquellec, Cepadues-Editions
- Cours d'algèbre bilinéaire de G. Letac.
- Algèbre et géométrie MP par D. Guinin et B. Joppin, Bréal
- Algèbre linéaire et bilinéaire: Cours et exercices corrigés par F. Cottet-Emard, De Boeck
- Mathématiques pour le DEUG: Algèbre et Géométrie 2^e année exercices corrigés par D.Prochason, Dunod
- Exercices de mathématiques pour l'agrégation, Algèbre 3 par J.-F. Ruaud et A. Warusfel, Masson
- Géométrie. Cours et exercices corrigés pour le CAPES et l'agrégation par A. Bigard, Masson
- Page web de D. Delaunay
- La bibliothèque d'exos d'A. Bodin
- Les notes de cours sur la page d'O. Debarre.

Évaluation

La note finale de la 1^ère session est calculée à partir des deux notes des examens partiels et de la note à l'examen terminal de la manière suivante :
Note finale = max (Examen; Examen/2 + (Partiel 1 + Partiel 2)/4)
La note de la 2^e session est la note de l'examen de rattrapage.

Organisation

Les enseignants sont Thierry Coulbois et Frédéric Palési à Saint-Charles L'enseignement a lieu au premier semestre 2013-2014.

Lieu	Enseignant	Jour	Heure	Salle
Saint-Charles	Thierry Coulbois	mardi	10h-12h	???
		mardi	14h-16h	???
		jeudi	10h-12h	???
Saint-Charles	Frédéric Palési	mardi	13h-16h	???
Saint-Charles	Frédéric Palési	jeudi	10h-12h	???

Calendrier et documents

Semaine du	Cours	Documents
9 septembre	Rappels Espaces vectoriels : définitions et exemples, Rⁿ et Cⁿ Familles libres et génératrices, dimension Bases et coordonnées Sous-espaces vectoriels Applications linéaires :définition, noyau, image Matrices associées aux applications linéaires Multiplication d'une matrice avec un vecteur Mulitplication de deux matrices, composition des applications linéaires Somme de matrices et d'applications linéaires Calcul du déterminant des matrices carrées Une matrice est inversible si, et seulement si, son déterminant est non nul	Première feuille de TD
16 septembre
23 septembre	Valeurs propres et vecteurs propres: définition Polynôme caractéristique Spectre	2^e TD
30 septembre	Racines du polynôme caractéristique et valeurs propres Sous-espaces propres Multiplicité algébrique et géométrique des valeurs propres Critère de diagonalisabilité
6 octobre	Changements de bases coordonnées matrice de changement de bases matrices semblables déterminant, trace, polynôme caractéristique d'un endomorphisme
13 octobre	Déterminant Formes n-linéaires alternées : définition, existence et unicité en dimension n Déterminant de n vecteurs Déterminant d'une matrice nxn det(AB)=det A det B, det A=det PAP^-1 Déterminant d'une application linéaire Inversibilité et déterminant
13 octobre	Premier partiel : jeudi 17 octobre 2013
20 octobre		3^e feuille de TD (déterminant)
20 octobre	Jeudi 24 octobre : rendre le premier devoir à la maison	3^e feuille de TD (déterminant)
27 octobre	Vacances de la Toussaint
3 novembre	Signature des permutations Rappels sur les bijections (des ensembles finis) Définition des permutations Exemple des cycles et des transpositions Décomposition en cycles à supports disjoints Signature Propriétés de la signature
10 novembre
17 novembre
24 novembre
24 novembre
1 décembre
8 décembre
15 décembre	Examens
23 décembre	Vacances de Noël
30 décembre	Vacances de Noël
5 janvier 2013	Examens

Création: mardi 10 septembre 2013
URL: http://www.latp.univ-mrs.fr/~coulbois/2014/alg-lin-2/index.html