Espaces vectoriels

La notion d'espace vectoriel est une notion centrale dans de nombreux problèmes de mathématiques, physique, chimie,.... En effet, la propriété de linéarité est commune, au moins en première approximation, à beaucoup de solutions de problèmes simples (problème de vibration de cordes ou ressorts, de propagation de la chaleur,...).

On peut résumer la propriété de linéarité de la façon suivante: si $u$ et $v$ sont deux solutions d'un problème donné, alors $u+v$ est solution également, ainsi que $\lambda u$ pour tout nombre (appelé scalaire) $\lambda$.

Le cadre mathématique adapté à ce type de situation est le cadre des espaces vectoriels, qui est étudié dans ce chapitre. Les éléments des espaces vectoriels sont appelés vecteurs, notion qui généralise les vecteurs rencontrés en géométrie vectorielle. Pour bien distinguer les différents objets mathématiques manipulés, on notera dans ce chapitre les vecteurs avec une flèche (par exemple, ${\vec{v}}$), notation qu'on oubliera ensuite.

Notions ensemblistes

On va dans ce chapitre manipuler des objets, et définir des opérations entre ces objets. Le langage adapté à la manipulation des objets est celui de la théorie des ensembles, dont on ébauche ici quelques aspects importants.

Ensembles

Il n'est pas nécessaire d'introduire la notion d'ensemble (qu'on nomme aussi parfois collection, famille ou regroupement), constitué d'éléments. Le nombre d'éléments d'un ensemble est appelé son cardinal. Le cardinal d'un ensemble $A$ est noté $\mathrm{Card}(A)$, ou $\sharp A$.

Une relation importante entre deux ensembles est la relation d'inclusion. Un ensemble $A$ est inclus dans un ensemble $B$, relation que l'on note

$$A\subset B\ ,$$

si tout élément de $A$ est aussi élément de $B$. On note ceci sous la forme

$$\forall x\in A\ ,\quad x\in B\ .$$

$A$ est alors un sous-ensemble de $B$.

REMARQUE 1.1   Il existe un ensemble remarquable, qui est inclus dans tout ensemble: l'ensemble vide, noté $\emptyset$. Tout ensemble $A$ est également inclus dans lui même. On a donc pour tout ensemble $A$,

$$\emptyset\subset A\ ,\qquad A\subset A\ .$$

REMARQUE 1.2   Il est fondamental de bien saisir la différence entre les notions d'appartenance à un ensemble, et d'inclusion dans un ensemble. Par exemple, le nombre $\pi$ appartient à l'ensemble ${\mathbb{R}}$ des nombres réels, alors que l'ensemble $\mathbb{Z}$ des nombres entiers est quant à lui inclus dans l'ensemble des nombres réels.

Par contre, le singleton $\{\pi\}$, c'est à dire l'ensemble constitué de l'unique élément $\pi$, est un sous-ensemble de ${\mathbb{R}}$. On note cela

$$\pi\in{\mathbb{R}}\ ,\qquad \{\pi\}\subset{\mathbb{R}}\ .$$

Deux ensembles $A$ et $B$ sont égaux si tout élément de $A$ est élément de $B$ (c'est à dire $A\subset B$), et vice versa ( $B\subset A$). Ainsi, on a la propriété fondamentale

$$A=B\quad \Longleftrightarrow\quad A\subset B \hbox{ et } B\subset A\ .$$

Pour démontrer que deux ensembles sont égaux, on doit donc démontrer les deux relations d'inclusion, c'est à dire

• $A\subset B$ signifie: $\forall x\in A$, $x\in B$.
• $B\subset A$ signifie: $\forall x\in B$, $x\in A$.

Union, intersection

Etant donnés deux ensembles $A$ et $B$, leur union $A\cup B$ est l'ensemble formé des éléments de $A$ et des éléments de $B$

$$A\cup B = \left\{x: x\in A\ \hbox{\bf ou } x\in B\right\}\ .$$

Leur intersection est constituée des éléments communs à $A$ et $B$:

$$A\cap B = \left\{x: x\in A\ \hbox{\bf et } x\in B\right\}\ .$$

Les opérations de réunion et d'intersection possèdent un certain nombre de propriétés importantes, listées ci-dessous. Les démontrer est un bon exercice. A défaut, on peut s'en convaincre en dessinant des ``patates'' (qu'on appelle diagrammes de Venn). Dans ces propriétés, $E,F$ et $G$ sont des ensembles.

1. Union et intersection sont associatives: $E\cup (F\cup G) = (E\cup F)\cup G$, et $E\cap (F\cap G) = (E\cap F)\cap G$.
2. Union et intersection sont commutatives: $E\cup F = F\cup E$, et $E\cap F = F\cap E$.
3. Distributivité $E\cup(F\cap G) = (E\cup F)\cap (E\cup G)$, et $E\cap(F\cup G) = (E\cap F)\cup (E\cap G)$.

Etant donnés deux ensembles $E$ et $F$, on a parfois à considérer l'ensemble des éléments de $E$ qui n'appartiennent pas à $F$. Cet ensemble est appelé la différence ``$E$ moins $F$'', et est noté

$$E\backslash F = \left\{x\in E,\ x\not\in F\right\}\ .$$

Lorsque $F$ est un sous-ensemble de $E$, $E\backslash F$ est appellé le complémentaire de $F$ dans $E$, et on le note $\complement_E F$ ou encore $\complement F$ lorsqu'aucune confusion n'est possible.

Finalement, on utilise également la notion de différence symétrique de deux ensembles $E$ et $F$, notée $E\Delta F$, qui est constituée des éléments de $E$ n'appartenant pas à $F$ et des éléments de $F$ n'appartenant pas à $E$:

$$E\Delta F = (E\backslash F)\cup (F\backslash E)\ .$$

Produit Cartésien

Tout d'abord, distinguons les notions de paire et de couple. Une paire est un ensemble de deux objets. Un couple est lui aussi formé de deux objets, mais on distingue le premier (appelé première composante du couple) du second (appelé seconde composante du couple). Conventionnellement, on note $\{a,b\}$ la paire constituée des objets $a$ et $b$, et $(a,b)$ le couple constitué de ces mêmes objets. On a donc $\{a,b\} = \{b,a\}$, alors que $(a,b)\ne (b,a)$.

Etant donnés deux ensembles $A$ et $B$, le produit cartésien de $A$ et $B$, noté $A\times B$, est l'ensemble des couples dont le premier élément appartient à $A$ et le second appartient à $B$:

$$A\times B = \left\{(x,y)\ ,x\in A\ \hbox{et }y\in B\right\}\ .$$

Si $A$ et $B$ sont deux ensembles finis, de cardinaux respectifs $n_A$ et $n_B$, alors le cardinal de $A\times B$ vaut $n_A n_B$:

$$\mathrm{Card}(A\times B) = \mathrm{Card}(A) . \mathrm{Card}(B)\ .$$

Etant donnés trois ensembles $A$, $B$ et $C$, le produit Cartésien des ensembles $A\times B$ et $C$ sera noté $A\times B\times C$ (et pas $(A\times B)\times C$). Si $a\in A$, $b\in B$ et $c\in C$, on notera $(a,b,c)$ le couple $((a,b),c)$, que l'on appellera triplet.

On définira similairement les produits Cartésiens de 4 ensembles, 5 ensembles, et ainsi de suite. Un produit Cartésien de $p$ ensembles sera formé de $p$-uplets.

Applications, fonctions

Une application d'un ensemble $A$ vers un ensemble $B$ est un objet mathématique qui associe à tout élément $x$ de $A$ un unique élément $y=f(x)$ de $B$. $A$ est l'ensemble de départ, et $B$ est l'ensemble d'arrivée.

$$f: \forall x\in A \longmapsto y=f(x)\in B\ .$$

$y$ est l'image de $x$, et $x$ est l'antécédent de $y$.

On utilisera dans la suite de ce cours les notions fondamentales suivantes:

1. L'application $f: E\to F$ est injective si tout $y\in F$ a au plus un antécédent $x\in E$.
2. L'application $f: E\to F$ est surjective si tout $y\in F$ a au moins un antécédent $x\in E$.
3. L'application $f: E\to F$ est bijective si elle est injective et surjective, en d'autres termes si tout $y\in F$ a un et un seul antécédent $x\in E$.

EXEMPLE 1.1  

• L'application ``carré'': $x\in{\mathbb{R}}\to x^2\in{\mathbb{R}}$ n'est pas surjective: les nombres négatifs n'ont pas d'antécédents dans ${\mathbb{R}}$.
• Cette même application ``carré''est surjective lorsque l'on change l'ensemble d'arrivée: $x\in{\mathbb{R}}\to x^2\in{\mathbb{R}}^+$: tout réel positif $x\in{\mathbb{R}}^+$ est le carré d'un réel, et admet donc un antécédent, par exemple $\sqrt{x}$.
• Elle n'est par contre pas injective: tout $x\in{\mathbb{R}}^+$ (sauf $x=0$) admet deux antécédents dans ${\mathbb{R}}$: $\pm\sqrt{x}$.
• Cependant, elle peut le devenir si l'on change encore une fois les ensembles dans lesquels cette application est considérée. En effet, l'application $x\in{\mathbb{R}}^+\to x^2\in{\mathbb{R}}^+$ est cette fois injective (tout réel positif admet une unique racine carrée réelle positive), tout en restant surjective. Il s'agit donc cette fois d'une bijection.

REMARQUE 1.3   Rappelons ce qu'est une fonction. Etant donnés deux ensembles $E$ et $F$, une fonction $f: E\to F$ associe à tout élément de $E$ 1 ou 0 élément de $F$: ainsi, tout élément de $E$ n'a pas nécessairement une image par la fonction $f$.

L'ensemble des éléments de $E$ qui possèdent une image par la fonction est appelé ensemble de définition de la fonction $f$, noté $D_f$.

Ainsi, toute fonction $f: E\to F$ n'est pas nécessairement une application. Par contre, la même fonction $f$ devient une application, si on change l'ensemble de départ: $f: D_f\to F$ est une application.

Un exemple de fonction se trouve en FIG. , représentée par un diagramme sagittal.

Figure: Diagramme sagittal d'une fonction$f: E\to F$, qui devient application par restriction à son domaine de définition $D_f$.

L'espace vectoriel ${\mathbb{R}}^n$

Un espace vectoriel est un ensemble dont les éléments, appelés vecteurs, constituent une généralisation abstraite de la notion usuelle (c'est à dire plus géométrique) de vecteur. A ce titre, les éléments d'un espace vectoriel peuvent être additionnés, et multipliés par des nombres.

Exemples

Commençons par quelques exemples simples d'espaces vectoriels ``classiques''.

EXEMPLE 1.2   L'exemple le plus simple d'espace vectoriel est la droite réelle ${\mathbb{R}}$, c'est à dire l'ensemble des nombres réels, que l'on appelle dans ce contexte la droite vectorielle. On sait effectuer sur les réels les opérations suivantes:

• Addition: pour tous $u,v\in{\mathbb{R}}$, on sait définir $u+v$, qui appartient lui aussi à ${\mathbb{R}}$.
• Multiplication par un scalaire (ici un nombre réel): pour tout $u\in{\mathbb{R}}$ et pour tout $\lambda\in{\mathbb{R}}$, $\lambda u\in{\mathbb{R}}$.

EXEMPLE 1.3   Autre exemple: le plan vectoriel, défini comme l'ensemble des couples de réels

$${\mathbb{R}}^2 = \left\{(x,y), x,y\in{\mathbb{R}}\right\}$$

Les deux opérations précédentes sont encore bien définies:

• Addition: pour tous ${\vec{u}}=(x,y),{\vec{v}}=(x',y')\in{\mathbb{R}}^2$, on sait définir ${\vec{u}}+{\vec{v}}$, qui appartient lui aussi à ${\mathbb{R}}^2$, par la relation
  $${\vec{u}}+{\vec{v}}= (x+x',y+y')$$

• Multiplication par un scalaire (ici un nombre réel): pour tout ${\vec{u}}=(x,y)\in{\mathbb{R}}^2$ et pour tout $\lambda\in{\mathbb{R}}$, $\lambda {\vec{u}}\in{\mathbb{R}}^2$ est de la forme
  $$\lambda {\vec{u}}= (\lambda x,\lambda y)\ .$$

Dans ces deux cas ci-dessus, l'addition est commutative ( ${\vec{u}}+{\vec{v}}= {\vec{v}}+ {\vec{u}}$) et associative ( ${\vec{u}}+ ({\vec{v}}+{\vec{w}}) = ({\vec{u}}+{\vec{v}})+{\vec{w}}$); il existe un vecteur nul ${\underline{v}}0$, tel que pour tout ${\vec{u}}$, ${\underline{v}}0+{\vec{u}}={\vec{u}}$, et tout vecteur ${\vec{u}}$ possède un opposé (ou inverse), que l'on note $-{\vec{u}}$ (voir en FIG. ).

Figure: Commutativité (à gauche) et associativité (à droite) de l'addition

                

Quant à la multiplication par un scalaire, elle possède des propriétés voisines (mais pas identiques): elle est commutative ( $\lambda(\mu{\vec{u}}) = \mu(\lambda{\vec{u}})$) et distributive par rapport à l'addition ( $(\lambda+\mu){\vec{u}}=\lambda{\vec{u}}+\mu{\vec{u}}$, et $\lambda ({\vec{u}}+{\vec{v}}) =\lambda{\vec{u}}+\lambda{\vec{v}}$). De plus, la multiplication par le scalaire 1 ne change rien ( $1.{\vec{u}}= {\vec{u}}$).

Ces propriétés (avec d'autres) sont en fait des propriétés ``génériques'', qui permettent de définir la notion d'espace vectoriel, comme on le verra.

Le cas de ${\mathbb{R}}^n$

On définit l'espace ${\mathbb{R}}^n$ de la façon suivante.

Dans ${\mathbb{R}}^n$, ces deux opérations possèdent les mêmes propriétés que celles que nous avons vues plus haut dans le cas de ${\mathbb{R}}^2$. Elles font de ${\mathbb{R}}^n$ un ${\mathbb{R}}$-espace vectoriel, dont on donnera la définition précise plus loin.

Norme, produit scalaire et angle

En plus de sa structure d'espace vectoriel, ${\mathbb{R}}^n$ est également équipé d'autres outils, comme la norme (qui associe à tout vecteur sa ``longueur''), et le produit scalaire (qui associe à toute paire de vecteurs un scalaire, décrivant leur ``ressemblance''), qui lui confèrent une structure d'espace Euclidien.

La norme d'un vecteur ${\vec{u}}=(x_1,x_2,\dots x_n)$ de ${\mathbb{R}}^n$ (qui représente donc sa ``longueur'') est définie par

$$\Vert{\vec{u}}\Vert = \sqrt{x_1^2 +x_2^2 +\dots +x_n^2}$$ (1.1)

Dans le cas de ${\mathbb{R}}^2$, cette égalité correspond au théorème de Pythagore, si l'on identifie les deux composantes $x_1,x_2$ du couple ${\vec{v}}=(x_1,x_2)\in{\mathbb{R}}^2$ aux coordonnées Cartésiennes du point $M$ du plan tel que $\vec{OM}={\vec{v}}$.

La norme vérifie l'inégalité triangulaire: pour tous ${\vec{u}},{\vec{v}}\in{\mathbb{R}}^n$,

$$\Vert{\vec{u}}+{\vec{v}}\Vert \le \Vert{\vec{u}}\Vert + \Vert{\vec{v}}\Vert\ .$$ (1.2)

Le produit scalaire de deux vecteurs est défini par

$${\vec{u}}\cdot {\vec{v}}= x_1 y_1 + x_2 y_2 +\dots + x_n y_n$$ (1.3)

et vérifie la propriété suivante, qui est essentielle

Interprétation: on a donc

$$-1\le \frac{{\vec{u}}\cdot {\vec{v}}}{ \Vert{\vec{u}}\Vert\,\Vert{\vec{v}}\Vert}\le 1\ ,$$

et donc il existe $\alpha\in[0,2\pi[$ tel que

$$\frac{{\vec{u}}\cdot {\vec{v}}}{ \Vert{\vec{u}}\Vert\,\Vert{\vec{v}}\Vert} = \cos (\alpha)\ .$$

$\alpha$ est l'angle entre les deux vecteurs ${\vec{u}}$ et ${\vec{v}}$.

Ces opérations munissent ${\mathbb{R}}^n$ d'une structure d'espace Euclidien. Dans un premier temps, nous nous focaliserons essentiellement sur la structure d'espace vectoriel, laissant de côté les notions de norme et produit scalaire. Nous reviendrons sur ces notions plus tard, lorsque nous traiterons la diagonalisation des matrices.

Définitions: espace vectoriel

La notion centrale de ce chapitre est la notion d'espace vectoriel. On se limitera ici aux notions d'espaces vectoriels sur ${\mathbb{R}}$ et sur $\mathbb{C}$, qui sont les plus couramment utilisées. On parlera de ${\mathbb{R}}$-espace vectoriel ou de $\mathbb{C}$-espace vectoriel. Lorsque les propriétés étudiées sont vraies indifféremment dans les cas réel ou complexe, on parlera de $\mathbb{K}$-espace vectoriel ( $\mathbb{K}$ représentant génériquement ${\mathbb{R}}$ ou $\mathbb{C}$), ou d'espace vectoriel tout simplement.

Espace vectoriel

En sciences appliquées, en particulier en physique et en chimie, on est souvent amené à manipuler des nombres complexes. C'est pourquoi il est utile d'étendre la notion d'espace vectoriel aux nombres complexes. La définition d'un $\mathbb{C}$-espace vectoriel est presque identique à la définition d'un ${\mathbb{R}}$-espace vectoriel, la seule différence étant que la multiplication par un scalaire est cette fois la multiplication par un nombre complexe.

REMARQUE 1.4   On peut vérifier que tout $\mathbb{C}$-espace vectoriel est automatiquement un ${\mathbb{R}}$-espace vectoriel. La réciproque est fausse.

Exemples

Outre les exemples géométriques ( ${\mathbb{R}}^n$) que nous avons vus plus haut, on utilise souvent d'autres exemples d'espaces vectoriels, dans bien des domaines.

• Le premier exemple qui vienne à l'esprit est celui de l'espace

  $$\mathbb{C}^n =\left\{(z_1,z_2,\dots z_n)\, ,\ z_k\in\mathbb{C}\ \forall k=1,2,\dots n\right\}\ .$$ (1.4)

  
  
  on peut facilement vérifier que $\mathbb{C}^n$ est un $\mathbb{C}$-espace vectoriel, dès lors que l'on définit l'addition et la multiplication par un scalaire comme suit: pour tous $(z_1,z_2,\dots z_n)\in\mathbb{C}^n$, $(z_1',z_2',\dots z_n')\in\mathbb{C}^n$ et $\lambda\in\mathbb{C}$,
  $$(z_1,z_2,\dots z_n) + (z_1',z_2',\dots z_n') = (z_1+z_1',z_2+z_2',\dots z_n+z_n')$$
  et
  $$\lambda (z_1,z_2,\dots z_n) = (\lambda z_1,\lambda z_2,\dots \lambda z_n)\ .$$

• $\mathbb{C}^n$, et en particulier $\mathbb{C}$, est également un ${\mathbb{R}}$-espace vectoriel, comme on peut le vérifier facilement.
• Considérons l'ensemble des solutions d'un système homogène de deux équations linéaires
  $$\bigg\{\begin{array}{lllll} ax &+& by &=& 0\\ cx &+& dy &=& 0\ , \end{array}$$
  où $a,b,c,d\in{\mathbb{R}}$. L'ensemble des solutions est un sous-ensemble de ${\mathbb{R}}^2$, dont on peut montrer qu'il s'agit d'un espace vectoriel, lorsque l'on le munit de l'addition et la multiplication scalaire de ${\mathbb{R}}^2$.
• Un autre exemple simple est l'exemple des espaces de polynômes. Etant donné un entier $d$, on considère l'ensemble ${\mathcal P}_d$ des polynômes de degré inférieur ou égal à $d$ à coefficients complexes, c'est à dire des fonctions
  $$P: x\in{\mathbb{R}}\longrightarrow P(x)= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 +\dots + a_d x^d =\sum_{k=0}^d a_k x^k\ ,$$
  les nombres $a_k$ étant des nombres complexes. Cet ensemble de polynômes est muni d'une structure de $\mathbb{C}$-espace vectoriel, grâce à l'addition et la multiplication par un scalaire suivantes: pour tous polynômes $P,P'$ de degré inférieur ou égal à $d$, et tout complexe $\lambda\in\mathbb{C}$, $P+P'$ et $\lambda P$ sont les polynômes définis par
  $$(P+P')(x) = P(x) + P'(x)\ ,\qquad (\lambda P)(x) = \lambda P(x)\ .$$

• ${\mathcal P}_d$ est également un ${\mathbb{R}}$-espace vectoriel. L'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à $d$ à coefficients réels est un ${\mathbb{R}}$-espace vectoriel, mais pas un $\mathbb{C}$-espace vectoriel.
• On note ${\mathcal F}({\mathbb{R}},\mathbb{C})$ l'ensemble des fonctions définies sur ${\mathbb{R}}$, à valeurs dans $\mathbb{C}$. On montre facilement qu'en définissant l'addition des fonctions et leur multiplication par un scalaire comme
  $$(f+g)(x) = f(x) + g(x)\ ,\quad (\lambda f)(x) = \lambda f(x)\ , \quad f,g\in{\mathcal F}({\mathbb{R}},\mathbb{C}), \lambda\in\mathbb{C}\ ,$$
  ${\mathcal F}({\mathbb{R}},\mathbb{C})$ acquiert une structure de $\mathbb{C}$-espace vectoriel.
• On considère l'ensemble des fonctions $f: t\in{\mathbb{R}}\to f(t)\in\mathbb{C}$, solutions d'une équation différentielle linéaire homogène donnée, par exemple
  $$f''(t) + f(t)=0\ .$$
  On peut facilement vérifier que l'ensemble de ces solutions forme un $\mathbb{C}$-espace vectoriel, en définissant l'addition et la multiplication par un scalaire comme ci-dessus.

Familles de vecteurs, sous-espaces vectoriels, dimension

Sous-espace vectoriel

EXEMPLE 1.4   Par exemple, considérons l'espace vectoriel $\mathbb{C}^3$, et le sous-ensemble

$$F =\left\{(x,y,z)\in\mathbb{C}^3\ ,2x + 3y - z =0\right\}\subset\mathbb{C}^3\ .$$

Figure: Le plan vectoriel dans ${\mathbb R}^3$, d'équation $2x+3y-z=0$. On note qu'il passe par l'origine.

Il est possible de montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{C}^3$, c'est à dire que tous les axiomes des définition  et  sont satisfaits. On le démontrera un peu plus loin, de façon plus simple.

EXEMPLE 1.5   Revenons sur l'exemple que nous avons évoqué un peu plus haut, du système homogène de deux équations linéaires à deux inconnues

$$\bigg\{\begin{array}{lllll} ax &+& by &=& 0\\ cx &+& dy &=& 0\ , \end{array}$$

Comme on l'a vu, les solutions de ce système forment un sous-ensemble de ${\mathbb{R}}^2$. Montrons maintenant qu'il s'agit d'un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^2$.

• Soient $(x,y)$ et $(x',y')$ deux solutions de ce système. Alors on voit facilement que $a(x+x') + b(y+y')=0$ et $c(x+x') + d(y+y')=0$, donc $(x,y) + (x',y')$ est également solution.
• Soit $(x,y)$ une solution, et soit $\lambda\in{\mathbb{R}}$. On a aussi $a\lambda x + b\lambda y=0$ et $c\lambda x + d\lambda y=0$, de sorte que $\lambda (b,c)$ est solution.

On a bien montré que l'ensemble des solutions est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^2$, c'est donc un ${\mathbb{R}}$-espace vectoriel.

Etant donnés un espace vectoriel $E$ et un sous-ensemble $F$, montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ demande de vérifier tous les axiomes de la définition . Cela n'est en fait pas nécessaire, grâce au résultat suivant.

Preuve: Ces conditions sont évidemment nécessaires. Pour prouver qu'elles sont suffisantes, remarquons que les axiomes () à () sont satisfaits dans $E$, et comme $F\subset E$, ils sont donc sautomatiquement satisfaits dans $F$, à l'exception de l'existence de l'élément neutre () et de l'opposé (), qu'il faut vérifier. Ces deux propriétés sont conséquence des hypothèses: en effet, pour tout ${\vec{u}}\in F$, ${\underline{v}}0 = 0.{\vec{u}}$, de sorte que ${\underline{v}}0\in F$. De plus, pour tout ${\vec{u}}\in F$, $-{\vec{u}}= (-1).{\vec{u}}\in F$, ce qui conclut la démonstration. $\spadesuit$

De façon plus générale, on déduit de ce résultat le corollaire

Preuve: Il suffit de démontrer que () est équivalente aux équations () et (), ce qui est immédiat. $\spadesuit$

Revenons à l'exemple  ci-dessus. Pour montrer qu'un tel $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{C}^3$, il suffit donc de montrer que $F$ est non-vide, ce qui est assuré dès lors que l'on remarque que par exemple, ${\underline{v}}0=(0,0,0)\in F$, et que pour tous ${\vec{u}},{\vec{v}}\in F$ et $\lambda,\mu\in \mathbb{C}$, () est satisfaite. Considérons donc ${\vec{u}}=(x,y,z)\in F$ et ${\vec{v}}=(x',y',z')\in F$, et calculons, pour des $\lambda,\mu\in \mathbb{C}$ quelconques,

$$\lambda{\vec{u}}+\mu{\vec{v}}= (\lambda x+\mu x',\lambda y+\mu y',\lambda z+\mu z')\ .$$

Alors, on voit facilement que

$$2 (\lambda x+\mu x')+ 3(\lambda y+\mu y') - (\lambda z+\mu z') = \lambda (2x + 3y - z) + \mu (2x' + 3y' - z') = 0$$

car ${\vec{u}},{\vec{v}}\in F$. Ceci prouve donc que ce $F$ est bien un sous-espace vectoriel de $\mathbb{C}^3$. Il s'agit d'un plan vectoriel.

Familles de vecteurs: familles libres, liées, génératrices

Soit $E$ un espace vectoriel (réel ou complexe) et soient ${\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2,\dots {\vec{u}}_p\in E$ $p$ vecteurs de $E$. Si $\lambda_1,\dots \lambda_p$ sont $p$ scalaires, alors on dit que le vecteur

$$\sum_{n=1}^p \lambda_n {\vec{u}}_n = \lambda_1{\vec{u}}_1 + \lambda_2{\vec{u}}_2 +\dots + \lambda_p{\vec{u}}_p$$ (1.5)

est une combinaison linéaire des vecteurs ${\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2,\dots {\vec{u}}_p$.

On dit aussi que la famille $\{{\vec{u}}_1,\dots {\vec{u}}_p\}$ engendre $E$, et on note

$$E = \hbox{\rm Vect}({\vec{u}}_1,\dots {\vec{u}}_p)\ .$$

Notons qu'il existe toujours une infinité de familles génératrices pour un espace vectoriel.

EXEMPLE 1.6   Reprenons l'exemple du plan vectoriel $F$ de l'exemple . Il est facile de voir que tout ${\vec{v}}\in F$ est de la forme ${\vec{v}}=(x,y,2x+3y)$. On peut alors écrire

$$(x,y,2x+3y) = x(1,0,2) + y (0,1,3)\ ,$$

de sorte que les vecteurs ${\vec{i}}= (1,0,2)\in F$ et ${\vec{j}}= (0,1,3)\in F$ forment une famille génératrice de $F$.

Considérons maintenant les vecteurs ${\vec{k}}= (1,1,5)$ et ${\vec{j}}$. Ces deux vecteurs forment ils une famille génératrice de $F$ ?

Pour s'en assurer, soit ${\vec{v}}=(x,y,2x+3y)\in F$, quelconque. La question est, ``existe-t-il $\lambda,\mu\in \mathbb{C}$ tels que

$${\vec{v}}= \lambda{\vec{k}}+ \mu{\vec{j}}\ .$$

Cette équation vectorielle est équivalente au système de trois équations linéaires à deux inconnues ($\lambda$ et ${\underline{u}}$)

$$\left\{ \begin{array}{lllll} \lambda &&&=&x\\ \lambda &+&\mu&=&y\\ 5\lambda &+& 3\mu &=& 2x+3y \end{array} \right.$$

Par substitution, ce système est équivalent à

$$\left\{ \begin{array}{lllll} \lambda &&&=&x\\ &&\mu&=&y-x\\ && 3\mu &=& 2x+3y -5x \end{array} \right.$$

qui est lui même équivalent à

$$\left\{ \begin{array}{lllll} \lambda &&&=&x\\ &&\mu&=&y-x \end{array} \right.$$

Ainsi, pour tous $x,y$, on a bien trouvé $\lambda$ et $\mu$ satisfaisant à la condition ci-dessus, donc la famille $\{{\vec{k}},{\vec{j}}\}$ est bien une famille génératrice pour $F$.

On vérifie aussi facilement que pour tout ${\vec{v}}=(x,y,z)\in F$, on peut écrire par exemple ${\vec{v}}= (x-z/5){\vec{i}}+ (y-z/5){\vec{j}}+ {\vec{k}}/5$, de sorte que la famille $\{{\vec{i}},{\vec{j}},{\vec{k}}\}$ engendre $F$ elle aussi.

Par exemple, ${\mathbb{R}}^n$ et $\mathbb{C}^n$ sont de dimension finie. Par contre, on peut trouver beaucoup d'exemples d'espaces vectoriels de dimension infinie, comme des espaces vectoriels de suites ou de fonctions. On ne considèrera pas de tels exemples dans ce cours.

EXEMPLE 1.7   Reprenons de nouveau l'exemple  ci-dessus. On peut vérifier que $\{{\vec{i}},{\vec{j}}\}$ est une famille libre. Par exemple, supposons que ${\vec{v}}=\alpha{\vec{i}}+\beta{\vec{j}}={\underline{v}}0$. Cette équation peut s'écrire $(\alpha,\beta,2\alpha+3\beta)=(0,0,0)$, ce qui implique $\alpha=\beta=0$. Ainsi, ${\vec{i}}$ et ${\vec{j}}$ sont linéairement indépendants.

En revanche, considérons maintenant la famille $\{{\vec{i}},{\vec{j}},{\vec{k}}\}$. Soit ${\vec{v}}=\alpha{\vec{i}}+\beta{\vec{j}}+\gamma{\vec{k}}$, et supposons ${\vec{v}}={\underline{v}}0$. Ceci implique que $(\alpha+\gamma,\beta+\gamma,2\alpha +3\beta+5\gamma)=(0,0,0)$, équation qui admet des solutions non-nulles: $\alpha=\beta =-\gamma$. Donc la famille $\{{\vec{i}},{\vec{j}},{\vec{k}}\}$ est liée.

Preuve: Soit ${\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2,\dots {\vec{u}}_p\in E$ une famille libre de $p$ vecteurs dans $E$, et supposons qu'il existe des nombres $\lambda_1,\dots \lambda_p$ et $\mu_1,\dots\mu_p$ tels que

$$\lambda_1{\vec{u}}_1 + \lambda_2{\vec{u}}_2 +\dots + \lambda_p{\vec{u}}_p = \mu_1{\vec{u}}_1 + \mu_2{\vec{u}}_2 +\dots + \mu_p{\vec{u}}_p\ .$$

Alors on en déduit que

$$(\lambda_1-\mu_1){\vec{u}}_1 +(\lambda_2-\mu_2){\vec{u}}_2 +\dots + (\lambda_p-\mu_p){\vec{u}}_1 =0\ ,$$

d'où, la famille ${\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2,\dots {\vec{u}}_p$ étant libre,

$$\lambda_1-\mu_1=\lambda_2-\mu_2=\dots=\lambda_p-\mu_p=0\ ,$$

et donc $\lambda_1=\mu_1,\dots\lambda_p=\mu_p$. $\spadesuit$

EXEMPLE 1.8   Dans ${\mathbb{R}}^2$, considérons deux vecteurs orthogonaux ${\vec{i}}$ et ${\vec{j}}$, comme dans la FIG. , et posons

$${\vec{i}}'=\frac1{\sqrt{2}}({\vec{i}}- {\vec{j}})\ ,\qquad {\vec{j}}'=\frac1{\sqrt{2}}({\vec{i}}+ {\vec{j}})\ .$$

Figure: Un seul développementUne infinité de développements

La famille $\{{\vec{i}},{\vec{j}}\}$ est une famille libre, alors que la famille $\{{\vec{i}},{\vec{j}},{\vec{i}}',{\vec{j}}'\}$ est une famille liée. Ceci se traduit par le fait qu'un vecteur quelconque de ${\mathbb{R}}^2$ s'écrit de façon unique comme combinaison linéaire de ${\vec{i}}$ et ${\vec{j}}$, alors qu'il existe une infinité de façons différentes de l'écrire comme combinaison linéaire de ${\vec{i}}$, ${\vec{j}}$, ${\vec{i}}'$ et ${\vec{j}}'$. En effet, considérons par exemple le vecteur ${\vec{u}}= {\vec{i}}+ 2{\vec{j}}$. Cette expression constitue l'unique écriture de ${\vec{u}}$ comme combinaison linéaire de ${\vec{i}}$ et ${\vec{j}}$. Par contre, on peut également écrire, pour tout $\alpha\in{\mathbb{R}}$,

$${\vec{u}} = \alpha ({\vec{i}}+ 2{\vec{j}}) + (1-\alpha)({\vec{i}}+ 2{\vec{j}})$$

$$= \alpha ({\vec{i}}+ 2{\vec{j}}) + (1-\alpha)\left(\frac{{\vec{i}}' + {\vec{j}}'}{\sqrt{2}} + 2 \frac{{\vec{j}}' - {\vec{i}}'}{\sqrt{2}}\right)$$

$$= \alpha{\vec{i}}+ 2\alpha {\vec{j}}- \frac{1-\alpha}{\sqrt{2}}{\vec{i}}' + \frac{3(1-\alpha)}{\sqrt{2}}{\vec{j}}'$$

Ceci étant vrai pour tout $\alpha\in{\mathbb{R}}$, on obtient ainsi une infinité de décompositions possibles.

REMARQUE 1.5   Dans un $\mathbb{K}$-espace vectoriel, la notion de dépendance linéaire ou indépendance linéaire d'une famille de vecteurs dépend évidemment de $\mathbb{K}$. Par exemple, prenons $E=\mathbb{C}$ qui, comme nous l'avons vu, peut être muni d'une structure de $CC$-espace vectoriel et de ${\mathbb{R}}$-espace vectoriel. Dans le ${\mathbb{R}}$-espace vectoriel $\mathbb{C}$, la famille de vecteurs $\{1,i\}$ est une famille libre: en effet, il n'existe pas $\lambda,\mu\in {\mathbb{R}}$, non simultanément nuls, tels que $\lambda +i\mu=0$. Par contre, dans le $\mathbb{C}$-espace vectoriel $\mathbb{C}$, il s'agit d'une famille liée, car on peut trouver $\lambda,\mu\in \mathbb{C}$, non simultanément nuls, tels que $\lambda +i\mu=0$ (prendre $\mu=i\lambda$). Pour préciser les choses, on parle parfois de famille $\mathbb{K}$-libre ou $\mathbb{K}$-liée ( $\mathbb{K}={\mathbb{R}}$ ou $\mathbb{C}$).

Bases, dimension

Clairement, toute famille libre n'est pas obligatoirement génératrice, et toute famille génératrice n'est pas obligatoirement libre. La notion de base représente en quelque sorte le ``juste compromis'' entre ces deux notions, comme on va le voir dans l'exemple qui suit.

EXEMPLE 1.9   Reprenons l'exemple du $\mathbb{C}$-espace vectoriel $\mathbb{C}^3$. Les vecteurs ${\vec{e}}_1=(1,0,0)$, ${\vec{e}}_2=(0,1,0)$ et ${\vec{e}}_3=(0,0,1)$ forment une famille dont on vérifie facilement qu'elle est

• Libre: soit ${\vec{x}}= x_1{\vec{e}}_1 +x_2{\vec{e}}_2 +x_3{\vec{e}}_3$ une combinaison linéaire quelconque de ${\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2$ et ${\vec{e}}_3$. Alors ${\vec{x}}=(x_1,x_2,x_3)$, et ${\vec{x}}={\underline{v}}0$ implique $x_1=x_2=x_3=0$.
• Génératrice: pour tout ${\vec{x}}=(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{C}^3$, on a obligatoirement ${\vec{x}}= x_1{\vec{e}}_1 +x_2{\vec{e}}_2 +x_3{\vec{e}}_3$.

Il est clair que si l'on enlève un élément à cette famille, la famille résultante n'est plus génératrice: par exemple, tout ${\vec{x}}\in\mathbb{C}^3$ ne peut pas s'écrire comme combinaison linéaire de ${\vec{e}}_1$ et ${\vec{e}}_2$ seuls. Par contre, si on ajoute n'importe quel vecteur à cette famille, la famille résultante ne sera pas libre, le nouveau vecteur pouvant s'exprimer comme combinaison linéaire des trois premiers.

Ainsi, la famille $\{{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2,{\vec{e}}_3\}$ représente le bon compromis pour écrire les éléments de $\mathbb{C}^3$ comme combinaisons linéaires. C'est ce que l'on appelle une base de $\mathbb{C}^3$, en l'occurrence la base canonique de $\mathbb{C}^3$.

Dans le cas de ${\mathbb{R}}^n$, la base canonique de ${\mathbb{R}}^n$ est la famille constituée des vecteurs ${\vec{e}}_j = (0,\dots ,0,1,0,\dots,0)$, pour $j=1,\dots n$, le seul élément non-nul du vecteur étant le $j$-ième.

Le théorème qui suit, que nous donnons sans démonstration, est un résultat fondamental.

Par exemple, la dimension de ${\mathbb{R}}^n$ est égale à $n$, la base canonique de ${\mathbb{R}}^n$ ayant $n$ éléments.

Pour illustrer ce résultat, il est utile de considérer un exemple simple.

EXEMPLE 1.10   Dans ${\mathbb{R}}^3$, on considère les deux vecteurs ${\vec{e}}_1=(1,1,0)$ et ${\vec{e}}_2=(1,-1,0)$. On voit facilement qu'ils forment une famille libre, et qu'on peut toujours leur adjoindre une troisième vecteur, par exemple ${\vec{e}}_3=(0,0,1)$ pour obtenir une famille génératrice.

Similairement, partant d'une famille génératrice de 4 vecteurs de ${\mathbb{R}}^3$, on voit facilement qu'on peut lui enlever un vecteur, la famille résultante étant maintenant libre, et toujours génératrice.

REMARQUE 1.6   Notons que la dépendance de la dimension $\dim_\mathbb{K}(E)$ d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel est un aspect important. Prenons par exemple le cas de $\mathbb{C}$. La dimension de $\mathbb{C}$ change selon que $\mathbb{C}$ est considéré comme $\mathbb{C}$-espace vectoriel ou ${\mathbb{R}}$-espace vectoriel. On peut facilement montrer que $\dim_\mathbb{C}(\mathbb{C})=1$, alors que $\dim_{\mathbb{R}}(\mathbb{C})=2$.

Ce résultat a de nombreuses conséquences ``pratiques''. Celle qui suit se démontre aisément.

Preuve: Considérons une famille de plus de $n$ vecteurs, et supposons qu'elle soit libre; d'après le théorème de la dimension, elle peut être complétée pour former une base, mais celle-ci aurait alors plus de $n$ vecteurs, ce qui est impossible. Donc la famille ne peut être libre. Considérons maintenant une famille de moins de $n$ vecteurs, et supposons qu'elle soit génératrice. On peut alors en extraire une base, qui aurait alors moins de $n$ vecteurs, ce qui est encore une fois impossible. La famille ne peut donc pas êtretre génératrice. $\spadesuit$

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$, et soit $\{{\vec{e}}_1,\dots{\vec{e}}_n\}$ une famille libre de $n$ vecteurs de $E$. Supposons qu'elle ne soit pas génératrice. Alors d'après le 2) du théorème , on peut la compléter pour former une base de $E$. Mais celle-ci a alors plus de $n$ éléments, ce qui est impossible. Donc la famille $\{{\vec{e}}_1,\dots{\vec{e}}_n\}$ est nécessairement génératrice.

Similairement, soit $\{{\vec{f}}_1,\dots{\vec{f}}_n\}$ une famille génératrice de $E$, supposons qu'elle ne soit pas libre. Alors d'après le 1) du théorème , on peut lui enlever des éléments pour obtenir une base, mais celle-ci compte moins de $n$ éléments, ce qui est impossible. Donc la famille $\{{\vec{f}}_1,\dots{\vec{f}}_n\}$ est obligatoirement libre.

On a donc montré

Finalement, on déduit de la définition d'une famille génératrice et de la proposition  l'existence et l'unicité du développement d'un vecteur sur une base:

Dans le cas simple de ${\mathbb{R}}^n$ (ou $\mathbb{C}^n$), dont on a vu plus haut la base canonique, il est facile de voir que les composantes d'un vecteur ${\vec{v}}=(x_1,x_2,\dots,x_n)$ dans cette base canonique ne sont autres que les nombres $x_1,x_2,\dots x_n$.

Dans un cas plus général, la détermination des composantes d'un vecteur sur une base demande un peu plus de travail.

EXEMPLE 1.11   Comment déterminer les composantes d'un vecteur par rapport à une base ? Prenons l'exemple de $\mathbb{C}^2$, et de la base constituée par les deux vecteurs ${\vec{e}}_1=(1,i)$ et ${\vec{e}}_2 = (1,-i)$. Considérons un vecteur de $\mathbb{C}^2$, par exemple ${\vec{v}}=(2,3i)$. On cherche à écrire

$${\vec{v}}= x_1{\vec{e}}_1 + x_2{\vec{e}}_2\ ,$$

ce qui revient à résoudre le système

$$\left\{ \begin{array}{lll} x_1 + x_2 &=& 2\\ ix_1 - ix_2 &=& 3i \end{array} \right.$$

Ce système se résoud facilement, et conduit à $x_1=5/2$ et $x_2=-1/2$.

Dans des cas plus complexes, il est possible d'utiliser des techniques plus systématiques, comme par exemple la méthode du pivot de Gauss, décrite un peu pus loin.

Union et intersection d'espaces vectoriels

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E$. On considère la réunion de $F$ et $G$

$$F\cup G = \left\{{\vec{v}}\in E\ ,\quad {\vec{v}}\in F\ \hbox{\bf ou}\ {\vec{v}}\in G\right\}\ .$$ (1.6)

$F\cup G$ est clairement un sous-ensemble de $E$, par construction. Par contre, ça n'est pas un sous-espace vectoriel de $E$ en général.

EXEMPLE 1.12   Prenons $E=\mathbb{C}^2$, et

$$F=\left\{(a,a),\ a\in\mathbb{C}\right\}\ ,\quad G=\left\{(b,-b),\ b\in\mathbb{C}\right\}\ .$$

$F$ et $G$ sont deux sous-espaces vectoriels de $E$ (de dimension $dim_\mathbb{C}(F)=dim_\mathbb{C}(G)=1$). Par contre, $F\cup G$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $E$, donc n'est pas un espace vectoriel. Par exemple, soient ${\vec{u}}=(1,1)$ et ${\vec{v}}=(1,-1)$, ils appartiennent tous deux à $F\cup G$, mais ${\vec{u}}+{\vec{v}}\not\in F\cup G$.

Considérons maintenant l'intersection $F\cap G$ de deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ de $E$

$$F\cap G = \left\{{\vec{v}}\in E\ ,\quad {\vec{v}}\in F\ \hbox{\bf et}\ {\vec{v}}\in G\right\}\ .$$ (1.7)

Soient ${\vec{u}},{\vec{v}}\in F\cap G$. Alors ${\vec{u}},{\vec{v}}\in F$ et ${\vec{u}},{\vec{v}}\in G$; donc, $F$ et $G$ étant des sous-espaces vectoriels de $E$, ${\vec{u}}+{\vec{v}}\in F$ et ${\vec{u}}+{\vec{v}}\in G$, d'où ${\vec{u}},{\vec{v}}\in F\cap G$. On a ainsi montré

EXEMPLE 1.13   Si nous reprenons l'exemple précédent, nous voyons bien que

$$F\cap G = \{(0,0)\}$$

est limité au seul vecteur nul de $\mathbb{C}^2$... ce qui est bien un sous-espace vectoriel, de dimension 0.

Somme et somme directe d'espaces vectoriels

Etant donnés deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ d'un espace vectoriel donné $E$, il est possible de considérer l'ensemble formé des sommes d'éléments de $F$ et $G$. Il est facile de montrer que cet ensemble est en fait un espace vectoriel.

Supposons que $E_1$ et $E_2$ soient deux sous-espaces vectoriels de $E$, et soit ${\mathcal E}=E_1+E_2$. Soit ${\vec{v}}\in{\mathcal E}$. Alors il existe ${\vec{v}}_1\in E_1$ et ${\vec{v}}_2\in E_2$ tels que ${\vec{v}}={\vec{v}}_1+{\vec{v}}_2$. Supposons qu'il existe un autre couple de vecteurs ${\vec{u}}_1\in E_1$ et ${\vec{u}}_2\in E_2$ tels que ${\vec{v}}={\vec{u}}_1+{\vec{u}}_2$. Alors on a ${\vec{u}}_1 - {\vec{v}}_1 = {\vec{u}}_2 - {\vec{v}}_2$, c'est à dire une égalité entre un vecteur de $E_1$ et un vecteur de $E_2$. A ce point, de deux choses l'une: soit $E_1\cap E_2 = \{{\underline{v}}0\}$, auquel cas ces deux vecteurs sont nécessairement nuls. Soit $E_1\cap E_2 \ne \{{\underline{v}}0\}$, et on peut avoir ${\vec{u}}_1\ne{\vec{v}}_1$ et ${\vec{u}}_2\ne{\vec{v}}_2$. On a donc montré

Qu'en est-il de la dimension de la somme de deux sous-espaces vectoriels de dimension finie ? Si $F$ et $G$ sont de dimension finie, disons $m$ et $n$, alors ils admettent chacun une base de respectivement $m$ et $n$ élements. L'union de ces deux bases est une famille génératrice de $F+G$, qui est ainsi de dimension inférieure ou égale à $m+n$. Si la somme $F+G$ est une somme directe, c'est à dire si $F\cap G=\{0\}$, alors l'union des deux bases est cette fois une base de $F\oplus G$, et la dimension de $F\oplus G$ est alors égale à $m+n$. On a donc montré

EXEMPLE 1.14   Prenons $E={\mathbb{R}}^3$, et soient

$$F = \left\{(x,y,z)\in{\mathbb{R}}^3,\ x+2y-z=0\right\}\ ,$$

$$G = \left\{(x,y,z)\in{\mathbb{R}}^3,\ x=y=0\right\}\ .$$

On voit facilement que $E\cap F=\{{\underline{v}}0\}$, donc la somme $F+G$ est une somme directe. De plus, $F$ est de dimension 2 (par exemple, une base de $F$ est donnée par les vecteurs ${\vec{e}}_1=(1,0,0)$ et ${\vec{e}}_2 = (0,1,2)$), et $G$ est de dimension $2$ (base: ${\vec{e}}_3=(0,0,1)$).

On a alors

$$\dim_\mathbb{K}(E_1\oplus E_2) = \dim_\mathbb{K}(E_1) + \dim_\mathbb{K}(E_2) \ .$$

Dans l'exemple  ci-dessus, cette égalité est bien vérifiée.

EXEMPLE 1.15   Prenons $E={\mathbb{R}}^2$, et soit

$$F = \left\{(x,y)\in{\mathbb{R}}^2,\ 2x+3y=0\right\}\$$

une droite vectorielle. Alors, on peut vérifier que les supplémentaires de $F$ sont toutes les droites vectorielles du plan ${\mathbb{R}}^2$ différentes de $F$.

Le pivot de Gauss

La méthode du pivot de Gauss (ou élimination de Gauss) est une technique simple et puissante de résolution de systèmes linéaires, de la forme

$$\left\{ \begin{array}{lll} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + ... ...1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n &=& b_m \end{array} \right.$$ (1.8)

les $a_{jk}$ et les $b_\ell$ étant $mn$ et $m$ scalaires, respectivement, et $x_1,\dots x_n$ étant les $n$ inconnues.

Commençons par l'illustrer sur un exemple, avant de voir en quoi elle peut être utile pour résoudre des problèmes simples d'algèbre linéaire.

La base de la méthode du pivot de Gauss pour la résolution de systèmes linéaires est l'ensemble des trois propriétés fondamentales: La solution d'un système d'équations linéaires ne change pas si

1. On permute l'ordre des équations
2. On multiplie (terme à terme) une équation par un scalaire non-nul.
3. On ajoute à une équation une combinaison linéaire quelconque des autres équations

La méthode, sur un exemple simple

Considérons le système linéaire de trois équations à trois inconnues

$$\left\{ \begin{array}{llllllll} x &+& 3y &+& 5z &= &0\qquad... ...\ 3x &-& y &+& z &=& 2\qquad\qquad& (c) \end{array} \right.$$ (1.9)

La méthode de Gauss consiste à substituer à ce système un autre système d'équations, équivalent, dans lequel on élimine par substitutions successives des variables. Par exemple, dans le cas qui nous intéresse, en remplaçant les deux dernières équations $(b)$ et $(c)$ par $2(a)-(b)$ et $3(a)-(c)$ respectivement (au sens de la soustraction des équations ``terme à terme''), on obtient

$$\left\{ \begin{array}{llllllll} x &+& 3y &+& 5z &=& 0\qqu... ... & 10y &+&14 z &=& -2\qquad\qquad& (c') \end{array} \right.$$

puis en substituant à $(c')$ l'équation $(c'')=5(b')-2(c')$, on obtient le système étagé suivant

$$\left\{ \begin{array}{llllllll} x &+& 3y &+& 5z &= &0\qqu... ... & & && 27 z &=& -11\qquad\qquad& (c'') \end{array} \right.$$

qui est facile à résoudre: $(c'')$ donne $z=-11/27$, puis en substituant dans $(b')$ on obtient $y=(-3-11z)/4 = 10/27$, puis finalement $(a)$ donne $x=-3y-5z=25/27$.

Application à la question: ``une famille de vecteurs est-elle libre ?''

La méthode du pivot de Gauss possède de nombreuses applications. Par exemple, étant donnée une famille de vecteurs, elle peut permettre de dire si cette famille est une famille libre. En d'autres termes, étant donnés un certain nombre de vecteurs ${\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2,\dots{\vec{v}}_m$ de ${\mathbb{R}}^n$ (ou $\mathbb{C}^n$) (avec $m\le n$, sans quoi la famille est automatiquement liée), existe-t-il des scalaires $\alpha_1,\dots \alpha_m$ tels que

$$\alpha_1{\vec{v}}_1 + \alpha_2{\vec{v}}_2 +\dots +\alpha_m{\vec{v}}_m ={\underline{v}}0\ ?$$ (1.10)

S'il existe de tels scalaires, non simultanément nuls, alors la famille est liée. Sinon, la famille est libre.

Si l'on connait les composantes des vecteurs ${\vec{v}}_1,\dots{\vec{v}}_m$ dans la base canonique, cette équation vectorielle peut s'écrire comme un système de $n$ équations linéaires, que l'on peut résoudre par la méthode du pivot.

EXEMPLE 1.16   Dans ${\mathbb{R}}^3$, considérons les vecteurs ${\vec{v}}_1 =(1,2,3)$, ${\vec{v}}_2=(1,-1,0)$ et ${\vec{v}}_3 = (0,1,4)$, et cherchons une éventuelle relation de la forme $\alpha_1{\vec{v}}_1 + \alpha_2{\vec{v}}_2+ \alpha_3{\vec{v}}_3={\underline{v}}0$. Cette équation vectorielle se ramène alors au système

$$\left\{ \begin{array}{lllllll} \alpha_1 &+& \alpha_2&& &=... ... 0\\ 3\alpha_1 && &+& 4\alpha_3 &=& 0 \end{array} \right.$$

Le pivot de Gauss permet de transformer ce système en

$$\left\{ \begin{array}{lllllll} \alpha_1 &+& \alpha_2 &&&=... ...& 0\\ &&3\alpha_2 &-& 4\alpha_3 &=& 0 \end{array} \right.$$

puis

$$\left\{ \begin{array}{lllllll} \alpha_1 &+& \alpha_2 &&&=... ...alpha_3 &=& 0\\ &&&& -5\alpha_3 &=& 0 \end{array} \right.$$

qui implique $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0$. Le système $\{{\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2,{\vec{v}}_3\}$ est bien un système libre dans ${\mathbb{R}}^3$ (et en est donc une base).

Une autre question reliée, qui peut également être traitée par élimination de Gauss: étant donnée une famille de vecteurs, trouver (s'il en existe) une relation linéaire entre ces vecteurs. Cette question se formule de façon identique à la précédente: il faut trouver les scalaires $\alpha_1,\dots \alpha_m$ dans ().

EXEMPLE 1.17   Dans ${\mathbb{R}}^3$, considérons les vecteurs ${\vec{v}}_1 =(1,1,1)$, ${\vec{v}}_2=(2,-1,3)$ et ${\vec{v}}_3 = (4,1,5)$, et cherchons une éventuelle relation de la forme $\alpha_1{\vec{v}}_1 + \alpha_2{\vec{v}}_2+ \alpha_3{\vec{v}}_3={\underline{v}}0$. Cette équation vectorielle se ramène alors au système

$$\left\{ \begin{array}{lllllll} \alpha_1 &+& 2\alpha_2 &+&... ...lpha_1 &+&3\alpha_2 &+& 5\alpha_3 &=& 0 \end{array} \right.$$

Le pivot de Gauss permet de transformer ce système en

$$\left\{ \begin{array}{lllllll} \alpha_1 &+& 2\alpha_2 &+&... ...& 0\\ &-&\alpha_2 &-& \alpha_3 &=& 0 \end{array} \right.$$

et il n'est pas nécessaire d'aller plus loin pour voir que les deux dernières équations sont équivalentes, et donnent $\alpha_3=-\alpha_2$, d'où $\alpha_1=2\alpha_2$. La relation linéaire recherchée est donc, en prenant $\alpha_2=1$,

$$2{\vec{v}}_1 + {\vec{v}}_2 -{\vec{v}}_3={\underline{v}}0\ ,$$

ce que l'on peut encore écrire

$${\vec{v}}_3 = 2{\vec{v}}_1 + {\vec{v}}_2\ ,$$

de sorte que tout ${\vec{u}}\in{\mathrm Vect}\{{\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2,{\vec{v}}_3\}$ s'écrit comme combinaison linéaire de ${\vec{v}}_1$ et ${\vec{v}}_2$. Ainsi

$${\mathrm Vect}\{{\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2,{\vec{v}}_3\} = {\mathrm Vect}\{{\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2\}\ ,$$

qui est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$ de dimension deux (car la famille $\{{\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2\}$ est une famille libre.

On verra plus bas comment caractériser ce sous-espace vectoriel.

Application à la question: ``une famille de vecteurs est-elle génératrice ?''

En d'autres termes, étant donnés un certain nombre de vecteurs ${\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2,\dots{\vec{v}}_m$ de ${\mathbb{R}}^n$ (ou $\mathbb{C}^n$) (avec $m\ge n$, sans quoi la famille ne peut être génératrice), peut-on trouver pour tout ${\vec{v}}$ des scalaires $\alpha_1,\dots \alpha_m$ tels que

$${\vec{v}}= \alpha_1{\vec{v}}_1 + \alpha_2{\vec{v}}_2 +\dots +\alpha_m{\vec{v}}_m \ ?$$

Si l'on connait les composantes des vecteurs ${\vec{v}}_1,\dots{\vec{v}}_m$, dans la base canonique, cette équation vectorielle peut s'écrire comme un système de $n$ équations linéaires (inhomogène cette fois), que l'on peut résoudre par la méthode du pivot.

EXEMPLE 1.18   Dans $\mathbb{C}^3$, considérons les vecteurs ${\vec{v}}_1=(1,i,2)$, ${\vec{v}}_2=(1,1,i)$ et ${\vec{v}}_3=(3i,1,2)$. Soit ${\vec{v}}=(x,y,z)\in\mathbb{C}^3$, quelconque, la question est de savoir si l'on peut écrire ${\vec{v}}=\alpha_1{\vec{v}}_1 + \alpha_2{\vec{v}}_2 +\alpha_3{\vec{v}}_3$. Cette équation vectorielle est équivalente à un système inhomogène de trois équations linéaires

$$\left\{ \begin{array}{lllllll} \alpha_1 &+& \alpha_2 &+& ... ...lpha_1 &+&i\alpha_2 &+& 2\alpha_3 &=& z \end{array} \right.$$

Le pivot de Gauss permet de transformer ce système en

$$\left\{ \begin{array}{lllllll} \alpha_1 &+& \alpha_2 &+& ... ...-i)\alpha_2 &+& (6i-2)\alpha_3 &=& 2x-z \end{array} \right.$$

puis en

$$\left\{ \begin{array}{lllllll} \alpha_1 \!\!&\!+\!&\!\! \... ...(2\!-\!i)(x\!+\!iy)-(1\!+\!i)(2x\!-\!z) \end{array} \right.$$

La troisième équation se simplifie en

$$\alpha_3 = \frac{-3ix +(1+2i)y + (1+i)z}{4(3+i)}\ ,$$

d'où on déduit ensuite $\alpha_2$ puis $\alpha_1$ par

$$\alpha_2 = \frac1{1+i}\left(x+iy-4i\alpha_3\right)\ ,\qquad \alpha_1 = x -\alpha_2-3i\alpha_3\ .$$

Ainsi, pour tout ${\vec{v}}\in\mathbb{C}^3$, on a bien pu l'exprimer comme combinaison linéaire de ${\vec{v}}_1$, ${\vec{v}}_2$, et ${\vec{v}}_3$, ces trois vecteurs constituent donc une famille génératrice de $\mathbb{C}^3$.

EXEMPLE  (SUITE) Comment caractériser le sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$ engendré par les vecteurs $\{{\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2\}$ ? Il suffit de considérer un vecteur quelconque

$${\vec{u}}= \alpha{\vec{v}}_1 + \beta{\vec{v}}_2 = (\alpha+2\beta,\alpha-\beta,\alpha+3\beta) \in {\mathrm Vect}\{{\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2\}\ .$$

En posant ${\vec{u}}=(x,y,z)$, on a donc

$$\left\{ \begin{array}{lllll} \alpha &+& 2\beta &=& x\\ ... ...\beta &=& y\\ \alpha &+& 3\beta &=& z \end{array} \right.$$

syst ème qui se met sous la forme

$$\left\{ \begin{array}{lllll} \alpha &-& \beta &=& y\\ && 3\beta &=& x-y\\ && 4\beta &=& z-y \end{array} \right.$$

d'où on déduit que $4(x-y) = 3(z-y)$, et donc l'équation de ${\mathrm Vect}\{{\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2\}$

$${\mathrm Vect}\{{\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2\} = \left\{(x,y,z)\in{\mathbb{R}}^3,\, 4x-y-3z=0\right\}\ .$$

Notons qu'on aurait obtenu exactement le même résultat en exprimant ${\vec{u}}$ comme combinaison linéaire de ${\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2$ et ${\vec{v}}_3$... au prix de calculs un peu plus longs.