Principe d’invariance individuel pour une diffusion dans un environnement périodique dégénéré
Moustapha Ba
I2M, Aix-Marseille Université
Date(s) : 08/07/2014 iCal
0h00
Sous la direction de Pierre Mathieu.
Soutenue le 08-07-2014
à Aix-Marseille , dans le cadre de Ecole Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille) .
Le président du jury était Etienne Pardoux.
Le jury était composé de Ahmadou Bamba Sow, Andreǐ L. Pianitski, Thierry Gallouët.
Les rapporteurs étaient Jean-Dominique Deuschel, Antoine Lejay
Nous montrons ici, en utilisant les méthodes de l’analyse stochastique, le principe d’invariance pour des diffusion sur ℝ^d, d≥2, en milieu périodique au delà des hypothèses d’uniforme ellipticité et au delà des hypothèses de régularité sur le potentiel. La théorie du calcul stochastique pour les processus associés aux formes de Dirichlet est largement utilisée pour justifier l’existence du processus de Markov à temps continus, défini pour presque tout point de départ sur ℝ^d. Pour la preuve du principe d’invariance, nous montrons une nouvelle inégalité de type Sobolev avec des poids différents, qui nous permet de déduire l’existence et la bornitude d’une densité de la probabilité de transition associée au processus de Markov. Cette inégalité, est l’outil principal de ce travail. La preuve fera appel à des techniques d’analyse harmonique. Enfin, le chapitre 3 contient le résultat principal du travail de la thèse : le principe d’invariance qui veut dire que la suite de processus (εX_{tε⁻²}) converge en loi quand ε tend vers zéro vers un mouvement Brownien. Notre stratégie suit quelques étapes classiques : nous nous appuyons sur la construction de ce qu’on appelle ici correcteur. Afin de contrôler le correcteur, et aussi pour montrer son existence, nous nous appuyons sur l’inégalité de Sobolev. Le resultat est obenu seulement avec les hypothèses, le potentiel V est périodique et satisfait: e^{V}+e^{-V} localement dans L¹(ℝ^d;dx) ou dx est la mesure de Lebesgue.
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