Gamma-supercyclicité

Stéphane Charpentier
I2M, Aix-Marseille Université
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Date(s) : 07/07/2015 iCal
10h00 - 11h00

Un opérateur T sur un espace de Banach X est dit hypercyclique s’il existe un vecteur x X tel que l’orbite Orb(x,T ) de x sous l’action de T est dense dans X. T est dit supercyclique s’il existe un vecteur x dans X tel que l’orbite projective Orb(ℂx,T ) de x sous l’action de T est dense dans X. Étant donné Γ un sous-ensemble de ℂ, nous introduisons la notion de Γ-supercyclicité : T sera dit Γ-supercyclique s’il existe x dans X tel que l’ensemble $n Orb(Γ x,T ):= {γT x,γ ∈ Γ ,n≥ 0}$ est dense dans X. En 2004 León et Müller ont montré que le cercle unité satisfait la propriété suivante : pour tout espace de Banach X et tout opérateur T borné sur X, T est hypercyclique si et seulement si T est -supercyclique. Dans cet exposé nous nous pencherons sur la question de la description des sous-ensembles de ℂ qui satisfont cette propriété. Il s’agit d’un travail en commun avec R. Ernst et Q. Menet.

Gamma-supercyclicity

An operator T on a Banach space X is said to be hypercyclic if there exists a vector x X such that the orbit Orb (x, T) of x under the action of T is dense in X. T is said to be supercyclic s’ there exists a vector x in X such that the projective orbit Orb (ℂx, T) of x under the action of T is dense in X. Given Γ a subset of ℂ, we introduce the notion of Γ-supercyclicity : T will be said to be Γ-supercyclic if there exists x in X such that the set $n Orb(Γ x,T ):= {γT x,γ ∈ Γ ,n≥ 0}$ is dense in X. In 2004 León and Müller showed that the unit circle satisfies the following property: for any Banach space X and any operator T bounded on X, T is hypercyclic if and only if T is -supercyclic. In this talk we will look at the question of the description of the subsets of ℂ which satisfy this property. This is a joint work with R. Ernst and Q. Menet.