Vers une classification des singularités ponctuelles des fonctions

Stéphane Jaffard
Laboratoire d’Analyse et Mathématiques Appliquées (LAMA), Paris
https://perso.math.u-pem.fr/jaffard.stephane/

Date(s) : 14/03/2016 iCal
10h00 - 11h00

Différents outils mathématiques ont été introduits au cours du 20e siècle pour mesurer la régularité ponctuelle des fonctions; ils répondaient à des besoins de natures diverses :
– Tout d’abord, en 1916, Hardy utilise la notion d’exposant de Hölder pour préciser exactement la régularité en chaque point des fonctions de Weierstrass.
– En 1961, Calderon et Zygmund introduisent la régularité $T^p_\alpha$ pour disposer d’une notion de régularité ponctuelle mieux adaptée à l’action des opérateurs d’intégrale singulière.
– Dès les années 80, des spécialiste d’analyse du signal travaillent sur l’exposant de Hölder d’intégrées fractionnaires du signal dans les situations où celui-ci n’est pas modélisable par une fonction localement bornée.
Dans cet exposé, nous montrons que la conjonction de ces deux idées, à savoir considérer des p-exposants d’intégrées fractionnaires, permet d’introduire une classification fine des singularités ponctuelles, au sein de laquelle deux nouveaux exposants jouent un rôle central : les exposants de lacunarité et de cancellation. Nous décrirons les propriétés de ces exposants, et les verrons à l’oeuvre pour revisiter quelques fonctions singulières et des processus aléatoires.
Cet exposé est basé sur des travaux en commun avec Patrice Abry, Clothilde Melot, Roberto Leonarduzzi et Herwig Wendt.

Towards a classification of point singularities of functions

Various mathematical tools were introduced during the 20th century to measure the point regularity of functions; they met needs of various kinds:

– First of all, in 1916, Hardy used the notion of Hölder’s exponent to specify exactly the regularity at each point of Weierstrass functions.

– In 1961, Calderon and Zygmund introduced the regularity $T^p_\alpha$ to have a notion of point regularity better suited to the action of singular integral operators. – From the 1980s, signal analysis specialists have been working on the Hölder exponent of fractional integrates of the signal in situations where it cannot be modeled by a locally bounded function.

In this talk, we show that the conjunction of these two ideas, namely considering p-exponents of fractional integrates, allows us to introduce a fine classification of point singularities, in which two new exponents play a central role: the exponents of lacunarity and cancellation. We will describe the properties of these exponents, and see them at work to revisit some singular functions and random processes.
This presentation is based on joint work with Patrice Abry, Clothilde Melot, Roberto Leonarduzzi and Herwig Wendt.

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01170037v1

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