Sur l’inégalité de Brunn-Minkowski pour les mesures log-concaves

Arnaud Marsiglietti
Caltech, USA
https://people.clas.ufl.edu/amarsiglietti/

Date(s) : 13/02/2017 iCal
10h00 - 11h00

L’inégalité de Brunn-Minkowski affirme que pour tous sous-ensembles compacts A,B de l’espace euclidien ⁿ, et tout scalaire λ [0,1], V ol((1 – λ)A + λB)^1∕n ≥ (1 – λ)V ol(A)^1∕n + λV ol(B)^1∕n, où V ol désigne la mesure de Lebesgue. Cette inégalité a d’importantes conséquences en géométrie puisqu’elle implique l’inégalité isopérimétrique, mais également en analyse et probabilités, notamment en concentration de la mesure, puisqu’elle implique l’inégalité de log-Sobolev de Gross. Par ailleurs, la classe des mesures log-concaves est riche et contient par exemple les mesures gaussienne, exponentielle, et uniforme sur un ensemble convexe. Dans cet exposé, nous montrons que l’inégalité de Brunn-Minkowski s’étend aux mesures log-concaves. Nous déduisons ainsi de nouvelles inégalités isopérimétriques.

On the Brunn-Minkowski inequality for log-concave measures

The Brunn-Minkowski inequality states that for all compact subsets A,B of the Euclidean space ⁿ, and any scalar λ [0,1], V ol((1 – λ)A + λB)^1∕n ≥ (1 – λ)V ol(A)^1∕n + λV ol(B)^1∕n, where V ol denotes the Lebesgue measure. This inequality has important consequences in geometry since it implies isoperimetric inequality, but also in analysis and probabilities, especially in measurement concentration, since it implies Gross log-Sobolev inequality. Moreover, the class of log-concave measures is rich and contains for example the Gaussian, exponential, and uniform measures on a convex set. In this talk, we show that the Brunn-Minkowski inequality extends to log-concave measures. We thus deduce new isoperimetric inequalities.