Sur l’écriture d’un nombre réel dans des bases différentes (par Yann BUGEAUD)

Colloquium
FRUMAM, St Charles, Marseille
http://phaissin.perso.math.cnrs.fr/Colloquium/

Date(s) : 16/03/2018 iCal
15h00 - 16h00

Soit b un entier au moins égal à 2. Un nombre réel x est normal en base b si, pour tout entier k, tout bloc de longueur k sur l’alphabet {0, 1, … , b-1} apparaît dans le développement en base b de x avec la fréquence 1/b^k. Soient r et s deux nombres entiers multiplicativement indépendants. Vers 1960, Cassels et Schmidt, indépendamment, ont montré l’existence de nombres réels x normaux en base r qui ne sont pas normaux en base s. Nous donnons les idées de la démonstration et présentons des extensions de ce résultat. Enfin, nous prouvons qu’un nombre réel irrationnel ne peut avoir simultanément un développement binaire et un développement décimal « très simples », en un certain sens.