Représentations d’Anosov et comptage dans certains espaces symétriques de PSO(p,q)

León Carvajales
IMJ-PRG, Université Paris Diderot
https://webusers.imj-prg.fr/~leon.carvajales/

Date(s) : 14/02/2020 iCal
11h00 - 12h00

Pour des entiers strictement positifs p et q on considère une forme quadratique dans R^{p+q} de signature (p,q) et soit O(p, q) le groupe de ses isométries linéaires. Nous étudions des problèmes de comptage dans l’espace symétrique Riemannien de PSO(p,q) et dans l’espace hyperbolique pseudo-Riemannien de signature (p,q-1).

L’espace X des sous-espaces q-dimensionnels de R^{p + q} sur lequels la forme quadratique est définie négative est l’espace symétrique Riemannien de PSO (p, q): il est muni d’une métrique Riemannienne PSO(p,q)-invariant à courbure non positive avec des plats. Soit S une copie totalement géodésique de l’espace symétrique Riemannien de PSO(p,q-1) dans X. Nous examinons l’orbite de S sous l’action d’un sous groupe (discret) de PSO(p,q) de type projectivement Anosov. Pour certains choix d’une telle copie géodésique, nous montrons que le nombre de points dans cette orbite qui se trouvent à une distance maximale t de S est asymptotiquement purement exponentiel lorsque t tend vers l’infini. Nous fournissons une interprétation de ce résultat dans l’espace hyperbolique pseudo-Riemannien de signature (p,q-1), comme l’asymptotique de la quantité de segments géodésiques de type espace de longueur maximale t dans l’orbite d’un point.

Anosov representations and counting in certain symmetric spaces of PSO (p,q)

For strictly positive integers p and q we consider a quadratic form in R^{p+q} with signature (p,q) and let O(p,q) be the group of its linear isometries. We study counting problems in the symmetric Riemannian space of PSO(p,q) and in the pseudo-Riemannian hyperbolic space of signature (p,q-1). The space X of the q-dimensional subspaces of R^{p+q} on which the quadratic form is defined negative is the Riemannian symmetric space of PSO(p,q): it is endowed with a Riemannian metric PSO(p,q)-invariant with non-positive curvature with flats. Let S be a totally geodesic copy of the Riemannian symmetric space of PSO(p,q-1) in X. We examine the orbit of S under the action of a (discrete) subgroup of PSO(p,q) of type projectively Anosov. For some choices of such a geodesic copy, we show that the number of points in this orbit which are at a maximum distance t from S is asymptotically purely exponential as t tends to infinity. We provide an interpretation of this result in the pseudo-Riemannian hyperbolic space of signature (p,q-1), as the asymptotic of the quantity of geodesic segments of space type of maximum length t in the orbit of a point .

https://arxiv.org/abs/1812.00738

Emplacement
Saint-Charles - FRUMAM (2ème étage)

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