Problème de Novikov et les billards dans les pavages périodiques par quadrilatères cycliques — un peu d’espoir ? – I2M

Problème de Novikov et les billards dans les pavages périodiques par quadrilatères cycliques — un peu d’espoir ?

Olga Paris-romaskevich
I2M, CNRS, Marseille
https://romaskevich.carrd.co/

Date(s) : 02/10/2020 iCal
11h00 - 12h00

Prenons une surface arbitraire 3-périodique M dans l’espace euclidien et un plan H qui la coupe.
Quelle famille de courbes pourrait-on retrouver dans leur intersection ?
Ce problème a été formulé par Sergey Petrovitch Novikov dans les années 80.

1. Il est possible que cette famille ne contient que des courbes fermées simples (cas trivial).
2. Il est aussi possible que certaines courbes soient fermées et que d’autres s’échappent à l’infini dans le plan en approchant des droites (cas intégrable).
3. Enfin, il est possible que certaines courbes dans l’intersection M \cap H s’échappent à l’infini de façon non-linéaire (cas chaotique).

Le théorème de Dynnikov affirme que des couples surface-plan (M, H) chaotiques sont rares : ils appartiennent tous à un sous-ensemble T de codimension 1 dans l’espace des pairs. Comprendre et décrire plus précisément l’ensemble F des couples chaotiques à l’intérieur de T est difficile. On ne sait même pas si la mesure de Lebesgue de F est nulle (dans T) !

Je raconterai comment cet ensemble F peut être compris grâce à un nouveau point de vue — celui des billards dans les pavages, au moins dans le cas de genre 3. Ceci est un travail en cours avec P. Hubert, P. Mercat et I. Dynnikov, A. Skripchenko.