Cyclicité et bicyclicité dans les espaces ℓp et ℓp à poids

Florian Le Manach
IMB, Université de Bordeaux 1
https://lmf.alea.ovh//recherche.html

Date(s) : 11/12/2017 iCal
11h15 - 12h15

Pour p ≥ 1 et β ≥ 0, on note ℓ_β^p(ℤ) l’espace des suites u = (u_n)_nℤ vérifiant (u_n|n|^β) ℓ^p(ℤ). On dit qu’une suite u = (u_n)_nℤ est cyclique (resp. bicyclcique) si le sous-espace engendré par {(u_n+k)_nℤ,k ℕ} (resp. {(u_n+k)_nℤ,k ℤ}) est dense dans ℓ^p(ℤ). On présentera dans cet exposé des conditions nécessaires et des conditions suffisantes à la cyclicité et à la bicyclicité dans ℓ_β^p(ℤ). Ces conditions sont données en terme de dimension de Hausdorff et de capacité de l’ensemble des zéros de la transformée de Fourier de u. On verra cependant que l’ensemble des zéros de la transformée de Fourier ne peut caractériser la cyclicité et la bicyclicité dans ℓ^p(ℤ) lorsque 1 < p < 2.

Cyclicity and bicyclicity in spaces ℓp and ℓp to weight

For p ≥ 1 and β ≥ 0, we denote by ℓ_β^p(ℤ) the space of sequences u = (u_n)_nℤ satisfying (u_n|n|^β) ℓ^p(ℤ). We say that a sequence u = (u_n)_nℤ is cyclic (resp. Bicyclic) if the subspace generated by {(u_n+k)_nℤ,k ℕ} (resp. {(u_n+k)_nℤ,k ℤ}) is dense in ℓ^p(ℤ). In this presentation, we will present the necessary and sufficient conditions for cyclicity and bicyclicity in ℓ_β^p(ℤ). These conditions are given in terms of the Hausdorff dimension and the capacitance of the set of zeros of the Fourier transform of u. However, we will see that the set of zeros of the Fourier transform cannot characterize the cyclicity and the bicyclicity in ℓ^p(ℤ) when 1 <p <2.