Les axiomes et les transformations géométriques dans l’école : d’Euclide à Pappus, de Legendre à Borel, de Kiselev à Kolmogorov

Alexander Bufetov
I2M, CNRS, Marseille
http://club.i2m.univ-amu.fr/accueil/

Date(s) : 19/01/2022 iCal
14h00 - 17h00

EXPOSÉ

Quand Kolmogorov commence le travail sur son manuel, l’idée de baser le cours de géométrie au secondaire sur la notion de transformation géométrique est débattue dans l’Union soviétique depuis plus de 20 ans.

Un précédent à succès est le manuel écrit dans le cadre de la réforme du 1905 par Émile Borel qui, en s’éloignant du dit de Legendre «l’espece de méthode dont se servoient les anciens est encore celle qui approche le plus de la perfection» suit le dit de D’Alembert : «Les axiomes (…) n’ont pas même besoin d’être énoncés », se soucie fort peu de la rigueur mathématique et base son cours sur l’idée du mouvement qu’il introduit comme

une évidence des sens, éludant ainsi des questions comme:

1. Qu’est-ce que c’est qu’une figure géométrique?

2. Qu’est-ce que c’est qu’un mouvement?

Kolmogorov tente de suivre l’approche de Borel avec plus de rigueur. Nous verrons les décisions que Kolmogorov a prises (p.ex., une grande précision dans les définitions mais une introduction très lente de la méthode axiomatique, la présupposition de la connaissance des nombres réels mais pas des mouvements, l’insistance sur les axiomes de l’espace métrique) dans le contexte des manuels de géométrie russes de ses prédecesseurs tel Kiselev, de ses contemporains tel Pogorelov, et de ses successeurs tel Alexandre Alexandrov.

Nous verrons comment les questions d’ordre philosophique sus-citées se traduisent dans les décisions palpables sur les points concrets tels que :

1. L’inégalité du triangle, faut-il la démontrer, la postuler ou la déclarer une évidence?

2. Faut-il distinguer, au niveau terminologique et au niveau de la notation, l’identité des ensembles, l’égalité des nombres et la congruence des figures ? Faut-il, et si oui, comment, définir cette dernière?

Par Alexander BUFETOV