Évènement

L’objet de ce travail de thèse est la répartition statistique des facteurs premiers des entiers. Plus précisément, nous portons notre étude sur le facteur premier médian des entiers défini en tenant compte, ou non, de la multiplicité. Cette thèse s’articule autour de quatre articles indépendants et couvre une grande partie de l’étude du facteur premier médian, améliorant significativement les précédents résultats disponibles dans la littérature tout en apportant de nouvelles estimations. La première partie traite de la valeur moyenne du logarithme du facteur premier médian pour laquelle est obtenu un développement asymptotique fournissant, à l’aide d’une troncature au premier ordre, une formule asymptotique avec terme d’erreur optimal. Dans la seconde partie, nous nous intéressons aux lois locales de la fonction arithmétique associant à un entier son facteur premier médian. Nous en obtenons une formule asymptotique dans une large plage de valeurs du facteur premier médian et établissons une description précise de la transition de phase, qui s’opère dans le cas où la multiplicité est prise en compte. Dans le second cas, nous obtenons également une formule asymptotique qui est cette fois-ci uniforme dans tout le domaine en question. La troisième partie a pour objectif d’établir un théorème de type Erdös-Kac pour la deuxième itérée du logarithme du facteur premier médian. Ce résultat met en avant la répartition selon une loi gaussienne de cette fonction arithmétique autour de la valeur $tfrac12loglog x$. En particulier, la vitesse de convergence obtenue est optimale. La quatrième et dernière partie porte sur l’estimation de la somme des inverses du facteur premier médian. Nous y obtenons des formules asymptotiques, que la multiplicité soit prise en compte, ou non, apportant, au passage, une réponse définitive à un problème posé par Erdös durant la conférence d’Oberwolfach de 1984.

The subject of this thesis is the statistical distribution of the prime factors of integers. More specifically, we study the middle prime factor of integers, defined according to multiplicity or not. The thesis is structured around four independent articles and covers a substantial portion of the study of the middle prime factor, significantly improving upon previously available results while also introducing new estimates. The first part deals with mean value of the logarithm of the middle prime factor, for which we obtain an asymptotic expansion providing, via a first-order truncation, an asymptotic formula with an optimal error term. In the second part, we investigate the local laws of the arithmetic function mapping any integer to its middle prime factor. We establish an asymptotic formula for the local laws over a wide range of values of the middle prime factor and provide a precise description of the phase transition occuring when multiplicity is taken into account. In second the case, we also obtain a uniform asymptotic formula valid across the entire domain of interest. The third part aims to establish an Erdös–Kac type theorem for the second iterate of the logarithm of the middle prime factor. This result highlights the gaussian distribution of this arithmetic function around the value $tfrac12loglog x$. In particular, the speed of convergence we obtain is optimal. The fourth and final part provides estimates relative to the sum of the reciprocals of the middle prime factor. We obtain asymptotic formulae, taking multiplicity into account or not, thereby providing a definitive answer to a question raised by Erdös at the Oberwolfach Conference in 1984.