Évènement

Axel PENEAU
Université de Tours

Date(s) : 28/04/2026   iCal
14h30 - 15h30

On s'intéresse à une marche aléatoire $(M_n = X_0 \cdots X_{n-1})$
 à pas indépendants et de même loi dans $SL(\mathbb{R}^d)$. On appelle projection de Cartan 
l'application sous-additive 
$\kappa: M \mapsto log|M|$. Il a été montré par Benoist et Quint que si 
$\kappa(X_0)$ a un moment d'ordre $2$ fini et que les $M_n$ ne sont pas tous 
presque sûrement dans un sous-groupe virtuellement résoluble de $SL(\mathbb{R}^d)$ alors 
$\kappa(M_n)$ satisfait un  théorème central limite auto-normalisé au sens où 
la loi de $(\kappa(M_n) - b_n) /a_n$ converge vers une loi normale quand 
$b_n$ est l'espérance de de $\kappa(M_n)$ et $a_n$ est la racine carrée 
de sa variance. 
Ce résultat découle du TCL pour les martingales stationnaires. 
Supposons maintenant que $\kappa(M_1)$ a un moment d'ordre $2$ infini, on 
s'intéresse  aux limites possibles de la loi de $(\kappa(M_n) - b_n) /a_n$ 
pour $a_n$ et $b_n$  sont des suites arbitraires. Le théorème central-limite généralisé 
de Paul Lévy décrit  les limites possibles de la loi de 
$(\sum_{k < n}\kappa(X_k) - b_n) /a_n$ et donne 
l'expression des suites $(a_n)$ et $(b_n)$ en fonction de la queue de la loi de 
$\kappa(X_0)$.
Malheureusement la somme des projections de Cartan $\sum_{k < n}\kappa(X_k)$ n'est pas 
égale à la projection de Cartan du produit $\kappa(X_0 \cdot X_{n-1})$. De plus, 
le théorème central limite généralisé pour les martingales étant faux 
il est hors de question d'appliquer la méthode de Benoist et Quint. 
Par chance j'ai obtenu un résultat de gain de moment duquel on déduit 
une loi faible des grands nombres pour la différence 
$\kappa(X_0 \cdots X_{n-1})  - \sum_{k < n} \kappa(X_k)$. Ce résultat vient 
d'une propriété locale-vers-globale de contraction dans les groupes linéaires 
que j'expliquerai, d'une construction astucieuse de temps de renouvellement 
et d'un argument probabiliste élémentaire : le minimum de deux variables aléatoires 
indépendantes et $L^{1}$-intégrables est $L^{2}$-intégrable.

Emplacement
Saint-Charles - FRUMAM (2ème étage)

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