Introduction aux D-modules
Date(s) : 15/11/2023 iCal
11h00 - 12h00
Afin d’étudier les équations différentielles partielles définies sur une variété lisse, on peut introduire un faisceau D des opérateurs différentiels au dessus de cette variété et regarder les D-modules associés. Ces D-modules proviennent pour une partie des équations différentielles et les regarder permet de retrouver de nombreuses propriétés des équations de départ. Le principal intérêt de cette approche est de pouvoir effectuer ces études de façon presque purement algébrique ! De plus, ce formalisme permet de généraliser les résultats classiques de la dimension un à la dimension supérieure.
Les D-modules ont en pratique de nombreuses autres applications au delà des équations différentielles, comme par exemple en théorie des représentations ou par la correspondance de Riemann-Hilbert (21ème problème de Hilbert). La théorie des D-modules a commencé à bien se développer vers les années 1970 dans le cadre de variétés complexes et continue aujourd’hui pour les variétés arithmétiques (cadre dans lequel je travaille).
Le but de cet exposé est de faire comprendre substantiellement l’intérêt des D-modules et de motiver leur introduction pour résoudre des équations différentielles, sans parler de géométrie algébrique ni de faisceaux ! Je me placerai dans le cas le plus simple possible : celui d’équations différentielles à coefficients holomorphes sur un ouvert connexe du plan complexe. J’expliquerai les difficultés et les enjeux dans ce cadre, puis j’introduirai l’anneau des opérateurs différentiels à coefficients holomorphes.
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