Maximisation de la résolvante d’une matrice quelconque dont le spectre est fixé

Rachid Zarouf
I2M, Aix-Marseille Université
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Date(s) : 03/10/2016 iCal
11h00 - 12h00

En analyse numérique, il est souvent nécessaire d’estimer le conditionnement CN(T ) = ∥T∥ ∥∥ -1∥∥ T et la norme de la résolvante ∥∥ - 1∥∥ (ζ - T ) d’une matrice donnée T de taille n×n. Nous donnons de nouvelles estimations spectrales pour ces quantités et explicitons des matrices qui permettent d’atteindre nos bornes. Nous retrouvons le résultat très ancien (parfois attribué à L. Kronecker) suivant : la borne supérieure de CN(T ) prise sur l’ensemble des matrices de norme inférieure ou égale à 1 et dont le minimum des valeurs propres (en valeur absolue) r = min_{λσ(T )}{ |λ | } est strictement positif, est égale à 1- rn . Ce résultat est ensuite généralisé par le calcul à ζ fixé dans le disque unité fermé, de la borne supérieure de ∥ -1∥ ∥(ζ - T) ∥ , prise sur l’ensemble des matrices T de norme inférieure ou égale à 1 dont le spectre σ(T ) de T est contraint à rester à une distance pseudo-hyperbolique au moins r (0,1] de ζ . Nous constatons que cette borne supérieure est atteinte par une matrice de Toeplitz triangulaire. Nous fournissons ainsi une classe simple de matrices dont le conditionnement ou plus généralement la norme de la résolvante peuvent être étudiés numériquement. Ces matrices de Toeplitz extrémales sont appelées matrices modèles dans la mesure où elle sont des représentations matricielles de la compression de l’opérateur de décalage vers la gauche sur l’espace de Hardy H² à un sous-espace invariant de dimension finie. Ce travail est effectué en collaboration avec Oleg Szehr.

Maximum of the resolvent of an arbitrary matrix whose spectrum is fixed

In numerical analysis, it is often necessary to estimate the conditioning CN(T ) =

and the norm of the resolvent

of a given matrix T of size n×n. We give new spectral estimates for these quantities and explain matrices which allow us to reach our bounds. We find the following very old result (sometimes attributed to L. Kronecker): the upper bound of CN(T ) taken on all the matrices with a norm less than or equal to 1 and whose minimum of the eigenvalues (in absolute value) r = min_{λσ(T )}{

} is strictly positive, is equal to

. This result is then generalized by the calculation at ζ fixed in the closed unit disk, of the upper bound of

, taken on all the matrices T of norm less than or equal to 1 whose spectrum σ(T ) of T is constrained to remain at a pseudo-hyperbolic distance at least r

(0,1] from ζ. We note that this upper bound is reached by a triangular Toeplitz matrix. We thus provide a simple class of matrices whose conditioning or more generally the norm of The resolvent can be studied numerically. These extremal Toeplitz matrices are called model matrices since they are matrix representations of the compression of the left shift operator on the Hardy space H² to an invariant subspace of finite dimension This work is carried out in collaboration with Oleg Szehr.

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01110346

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