Polynômes de Schubert pour les groupes classiques

Evgeny SMIRNOV
HSE à Moscou et Université Indépendante de Moscou
https://users.mccme.ru/smirnoff/

Date(s) : 15/04/2022 iCal
11h00 - 12h30

Les variétés de drapeaux ont été étudiées depuis le 19e siècle ; elles sont apparues dans les travaux de G. Graßmann et H. Schubert, qui les ont utilisées pour répondre à des questions de géométrie énumérative. Elles possèdent une décomposition cellulaire remarquable, dite de Schubert. Les classes des adhérences de ces cellules (les classes de Schubert) déterminent une base distinguée dans l’anneau de cohomologie. Selon un résultat classique de A. Borel, on peut les considérer comme éléments du quotient de l’anneau des polynômes en plusieurs variables; il est alors intéressant de trouver une présentation des classes de Schubert par des polynômes.

En 1982, A. Lascoux et M.-P. Schützenberger ont trouvé une telle présentation, canonique dans une certain sens précis, par les polynômes de Schubert. Ces polynômes ont une structure combinatoire très riche et intéressante. Ils sont obtenus comme les fonctions génératrices de certains diagrammes de brins, dites les pipe dreams; en particulier, cela implique la positivité de leurs coefficients.

On peut considérer les mêmes constructions pour les variétés de drapeaux G/B d’autres groupes classiques : SO(n) et Sp(2n). Dans ces cas-là, les polynômes de Schubert ont été définis par S. Billey et M. Haiman en 1995. Je vais présenter une nouvelle construction de pipe dreams pour ces polynômes, qui est apparue dans notre travail en commun avec Anna Tutubalina.