Problème de Sarason dans l’espace de Fock polyanalytique

Irène Casseli
I2M, Aix-Marseille Université
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Date(s) : 04/06/2018 iCal
10h00 - 11h00

Les fonctions polyentières généralisent les fonctions entières au sens où ce sont celles qui annulent un itéré ∂ⁿ sur le plan complexe. Par analogie avec le cas classique, on introduit les espaces de Fock polyanalytiques F_n² comme sous-espaces fermés de L²(ℂ,dμ), où μ est la mesure de probabilité gaussienne sur ℂ, formés des fonctions polyentières ; pour une fonction f, on définit formellement l’opérateur de Toeplitz T_fⁿ de symbole f par T_fⁿ(h) = P_Fn²(fh), où P_Fn² est la projection orthogonale de L²(ℂ,dμ) sur F_n². Le problème de Sarason, issu de la théorie des espaces de Bergman et de Hardy, consiste à trouver des conditions nécessaires et suffisantes sur les symboles f et g, de sorte que le produit des Toeplitz de symboles respectifs f et g soit un opérateur continu sur l’espace de Fock. Après avoir exposé le résultat connu pour l’espace de Fock classique, j’en présenterai une généralisation dans le cadre des espaces de Fock polyanalytiques. Ce travail fait partie de mes recherches de thèse.

Sarason problem in polyanalytic Fock space

The polyentery functions generalize the integer functions in the sense that they are those which cancel an iterated ∂ⁿ on the complex plane. By analogy with the classical case, we introduce the polyanalytic Fock spaces F_n² as closed subspaces of L²(ℂ,dμ), where μ is the Gaussian probability measure on ℂ, formed from polyentery functions; for a function f, we formally define the Toeplitz operator Tfn of symbol f by T_fⁿ(h) = P_Fn²(fh), where P_Fn² is the orthogonal projection of L²(ℂ,dμ) sur F_n². Sarason’s problem, resulting from the theory of spaces of Bergman and Hardy, consists in finding necessary and sufficient conditions on the symbols f and g, so that the product of the Toeplitz of respective symbols f and g is a continuous operator on Fock’s space. After having presented the known result for the classical Fock space, I will present a generalization within the framework of polyanalytic Fock spaces. This work is part of my thesis research.