Évènement

Joffrey Mathien
I2M

Date(s) : 12/11/2025   iCal
14h00 - 18h00

Le jury sera composé de :

Résumé :

Depuis plus de 50 ans, les surfaces hyperboliques suscitent un grand intérêt. Si les approches classiques ont permis de nombreux progrès, une approche probabiliste développée depuis une vingtaine d’années a ouvert des perspectives inédites. Elle a conduit à des modèles aléatoires variés, et a renforcé l’utilisation d’analogies avec les graphes dans l’asymptotique d’un grand nombre de sommets. Cette thèse s’inscrit dans ce cadre en transposant aux surfaces hyperboliques de grand genre des phénomènes bien connus pour les graphes.
Nous étudions d’abord le diamètre, mesure fondamentale de la connectivité. On sait que son comportement typique croît logarithmiquement avec le genre, mais savoir s’il atteint typiquement le minimum possible reste ouvert. Nous introduisons un modèle simplifié de surfaces hyperboliques aléatoires, fondé sur la décomposition en pantalons et étendant un modèle antérieur construit pour les surfaces de diamètre minimal. Nous calculons alors précisément l’asymptotique du diamètre à l’aide de techniques de sous-additivité et de concentration de mesure dans un processus d’exploration inspiré du parcours en largeur des graphes.

Dans un second temps, nous utilisons le lien entre marches aléatoires sur graphes et théorie spectrale du laplacien en contexte hyperbolique. Nous définissons un processus basé sur les chemins géodésiques et montrons l’existence, dans divers contextes, d’un phénomène de cutoff, révélant une convergence abrupte vers l’équilibre. Ce travail généralise des résultats connus pour le mouvement brownien en dimension 2 et s’appuie sur les méthodes spectrales de Lubetzky et Peres ainsi que sur une analyse de l’opérateur de moyenne sphérique.

Mots clés : surfaces aléatoires, graphes aléatoires, diamètre, cutoff

Emplacement
Saint-Charles - FRUMAM (2ème étage)

Catégories

• Soutenance de thèse