Évènement

Soit Γ un groupe hyperbolique et G le groupe d’isométries d’un espace métrique géodésique et Gromov-hyperbolique. Dans cette thèse, nous étudions les dynamiques de l’action du groupe d’automorphismes extérieurs Out(Γ) sur Χ(Γ, G), l’espace des classes de conjugaison des représentations de Γ dans G. Le cas classique qui motive cette étude est l’action proprement discontinue du groupe modulaire sur l’espace de Teichmüller. Plus généralement, il est bien connu que Out(Γ) agit proprement discontinûment sur l’ensemble des (classes de conjugaison des) représentations quasi-isométriquement plongées ou convexes cocompactes, tandis que les dynamiques sur le complémentaire de ces ensembles sont moins bien comprises.

Pour élargir ce cadre, nous étudions les représentations A-stables, définies grâce à un sous-ensemble A ⊂ Γ invariant par Aut(Γ). Celles-ci généralisent les représentations primitives-stables de Minsky pour les groupes libres. Nous fournissons une condition suffisante sur A pour que l’ensemble SA(Γ, G) des classes de conjugaison de représentations A-stables forme un sous-ensemble de X(Γ, G) ouvert, invariant par Out(Γ), et où l’action est proprement discontinue.

Deux familles sont étudiées en détail.

La première est lorsque A est l’ensemble des commutateurs de Γ. Nous prouvons que les représentations commutateur-stables ont toujours une image discrète et un noyau fini, soulignant ainsi une différence de comportement par rapport aux représentations primitives-stables. Grâce à cela, nous pouvons établir de nouvelles caractérisations des sous-groupes convexes cocompacts dans PSL₂(C), en montrant en particulier l’équivalence entre les propriétés commutateur-stable et convexe cocompacte.

La deuxième famille est lorsque Γ = Γ_g est le groupe fondamental d’une surface orientable fermée de genre g ⩾ 2 et A est l’ensemble des courbes simples. Nous analysons les représentations simples-stables et nous donnons une caractérisation de ces représentations lorsque G est le groupe d’isométries d’une variété de Hadamard pincée. Puis, nous nous spécialisons au cas où G = PU(2, 1) est le groupe d’isométries biholomorphes du plan hyperbolique complexe. Nous montrons qu’il existe des représentations simples-stables de Γ₂ qui ne sont pas discrètes et fidèles. Nous en déduisons que l’ensemble des classes de conjugaison des représentations simples-stables forme un domaine de discontinuité pour l’action de Out(Γ) sur Χ(Γ₂, PU(2, 1)) qui est strictement plus grand que celui des convexes cocompacts.

Mots clés : Géométrie, Dynamiques, Groupes hyperboliques, Hyperbolicité de Gromov, Représentations, Topologie de basse dimension.