Représentations galoisiennes des courbes elliptiques et enchevêtrement des corps de division
Zoé Yvon
I2M, Aix-Marseille Université
Date(s) : 13/12/2024 iCal
15h00 - 18h00
Le jury est composé de :
- Samuele Anni, Aix-Marseille Université (directeur de thèse)
- David Kohel, Aix-Marseille Université (directeur de thèse)
- Sara Arias-de-Reyna, Université de Séville (rapporteuse),
- Samir Siksek, Université de Warwick (rapporteur),
- Cécile Armana, Université de Franche-Compté,
- Olivier Dudas, Aix-Marseille Université,
- Jean-Marc Couveignes, Université de Bordeaux,
La première moitié de la soutenance sera en français, et la deuxième moitié en anglais.
Résumé :
Soit E/F une courbe elliptique sur un corps de nombres. Le groupe absolu de Galois de F agit sur les points de m-torsion de la courbe, donnant une représentation galoisienne rho_{E,m} du groupe absolu de Galois dans GL(2, Z/mZ). Le groupe de Galois de l’extension F(E[m])/F, engendrée par les coordonnées des points d’ordre m de la courbe, est isomorphe à l’image de rho_{E,m}. Un résultat de Serre de 1972 et d’autres plus récents montrent que cette représentation est surjective pour presque toutes les courbes elliptiques définies sur F. Dans cette thèse, on travaille sur l’enchevêtrement des corps de division, autrement dit sur la non-surjectivité des représentations rho_{E,m}, lorsque m n’est pas premier.
D’une part, on questionne la possibilité d’avoir la coïncidence de deux corps de division F(E[m])=F(E[n]) pour des entiers m,n distincts. Cette question a déjà été traitée pour F étant le corps des rationnels. Dans cette thèse, on donne des résultats sur les corps de nombres.
D’autre part, dans le cadre du problème inverse de Galois, on souhaite une méthode pour construire des polynômes avec corps de décomposition F(E[m]). Cette question a déjà été traitée pour m=p un premier et rho_{E,p} surjective. Dans cette thèse, on généralise le résultat à tous les entiers m et à toutes les images de rho_{E,m} possibles. De plus, on donne un minorant pour les valuations des coefficients des polynômes obtenus.
Emplacement
Luminy - CIRM
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