Évènement

Composition du jury :

Titre : Théorie de Thurston en dynamique transcendante

Résumé : Nous développons la théorie des applications de Thurston de degré infini, qui sont définies partout sur la sphère topologique $S^2$, en excluant potentiellement un ensemble fermé au plus dénombrable de singularités.

Nous établissons un analogue du célèbre théorème de caractérisation de W. Thurston pour une large classe de telles applications de Thurston ayant quatre valeurs post-singulières. Cela est particulièrement significatif car cela représente la première occurrence d’un critère à la Thurston dans le cadre transcendant, englobant un nombre indénombrable d’applications de Thurston distinctes combinatoirement, à la fois réalisées et obstruées. Pour y parvenir, nous analysons les applications de tiré-en-arrière associées définies sur l’espace de Teichmüller de dimension complexe un, ce qui permet d’obtenir des informations sur la dynamique de tiré-en-arrière sur les espaces de Teichmüller et de modules. Cela met en lumière, à son tour, les propriétés supplémentaires des classes de Hurwitz et des espaces de paramètres correspondants des applications de Thurston considérées.

Dans la deuxième partie de cette thèse, nous nous concentrons sur les applications de Thurston marquées. Nous montrons que lorsqu’une application de Thurston non marquée $f$, qu’elle soit de degré fini ou infini, est réalisée, l’application de Thurston marquée $(f, A)$, où $A subset S^2$ est un ensemble marqué fini, est réalisée si et seulement si elle ne possède pas de cycle de Levy dégénéré. Ce résultat est obtenu à travers l’étude de l’application de tiré-en-arrière correspondante définie sur l’espace de Teichmüller de dimension supérieure, montrant que certaines itérations de cette application admettent des sous-variétés complexes invariantes bien comportées. En appliquant des outils puissants de la dynamique complexe en dimension un et de la géométrie hyperbolique, nous obtenons une compréhension claire du comportement de l’application de tiré-en-arrière restreinte au sous-ensemble invariant correspondant de l’espace de Teichmüller.

Mots clés : applications de Thurston, applications holomorphes postsingulièrement finies, espaces de Teichmüller, espaces de modules, applications de tiré-en-arrière, cycles de Lévy.

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Abstract: We develop the theory of Thurston maps of infinite degree, which are defined everywhere on the topological sphere $S^2$, potentially excluding at most a countable closed set of singularities.

We establish an analog of the celebrated W. Thurston’s characterization theorem for a broad class of such Thurston maps having four postsingular values. This is particularly significant as it represents the first instance of a Thurston-like criterion in the transcendental setting that encompasses uncountably many combinatorially distinct Thurston maps, both realized and obstructed. To achieve this, we investigate the corresponding pullback maps defined on the one-complex-dimensional Teichmüller space, gaining insights into the pullback dynamics on Teichmüller and moduli spaces. This, in turn, sheds light on the further properties of Hurwitz classes and corresponding parameter spaces of the considered Thurston maps.

In the second part of this thesis, we focus on marked Thurston maps. We show that when an unmarked Thurston map $f$, whether of finite or infinite degree, is realized, the marked Thurston map $(f, A)$, where $A subset S^2$ is a finite marked set, is realized if and only if it has no degenerate Levy cycle. This result is obtained through a study of the corresponding pullback map defined on the multi-dimensional Teichmüller space, showing that certain iterates of this map admit well-behaved invariant complex submanifolds.  By applying powerful machinery of one-dimensional complex dynamics and hyperbolic geometry, we gain a clear understanding of the behavior of the pullback map restricted to the corresponding invariant subset of the Teichmüller space.

Key words: Thurston maps, postsingularly finite holomorphic maps, Teichmüller spaces, moduli spaces, pullback maps, Levy cycles.