Évènement

Pierre Warrion
I2M

Date(s) : 19/11/2025   iCal
14h00 - 18h00

Le jury sera composé de :

• Peter Balazs – Chercheur, Austrian Academy of sciences – rapporteur
• Philippe Jaming – Professeur, Université de Bordeaux – rapporteur
• Valérie Perrier – Professeure, Université Grenoble Alpes, Présidente du Jury
• Clothilde Melot – Maîtresse de conférence, Aix-Marseille Université – Examinatrice
• Rémi Gribonval – Directeur de Recherche, ENS de Lyon – Examinateur
• Bruno Torrésani – Professeur, Aix-Marseille Université – Directeur de thèse

Résumé :

Les transformations temps-fréquences sont extrêmement pratiques et fortement utilisées dans le domaine du traitement du signal. A l’inverse de transformées dites « globales » comme la transformée de Fourier, elles permettent une analyse de Fourier locale, dans les limites des principes d’incertitude. Ces dernières expriment le fait que la précision dans le domaine fréquentiel se fait au détriment de la localisation temporelle, et vice versa.

Ces transformations sont généralement construites à partir de règles générales simples, qui impactent leurs propriétés de localisation  conjointe temps-fréquence. Par exemple la STFT (short time Fourier transform, transformée de Fourier à fenêtre glissante en français), la précision temporelle est la même à chaque instant et chaque fréquence: on parle de résolution temps-fréquence constante.  La transformée en ondelettes, qui permet de caractériser des changements d’échelles dans la fonction (le signal) analysée, a une résolution fréquentielle proportionnelle à la fréquence analysée: on parle de résolution fréquentielle relative constante. Il existe de nombreuses variantes caractérisées par d’autres règles liant fréquence (ou temps) et résolution fréquentielle. Ceci étant, elles sont rarement adaptatives (au sens où la résolution temps-fréquence n’est pas directement adaptée à partir de caractéristiques du signal analyse). Et lorsqu’elles le sont, les implications mathématiques de cette adaptation n’ont, à notre connaissance, jamais été analysées finement.

Cette thèse est précisément consacrée à la construction et l’analyse de telles transformations adaptatives. Dans notre construction, la résolution autour d’un instant $t$ ou d’une fréquence $omega$ peut devenir plus ou moins fine selon certains critères définis en amont. Ce changement de résolution se fait via l’introduction d’une fonction $sigma_f$ appelé fonctions de focus dépendante de la fonction $f$ analysée, qui définit l’échelle locale (dans le domaine temporel ou fréquentiel) de la fenêtre d’analyse, ou l’ondelette d’analyse selon le contexte. Un tel changement dans la définition des transformées adaptatives brise ainsi les structures de groupe sous-jacentes et la linéarité des transformées sur lesquelles elles sont basées.

Nous avons ainsi proposé deux transformées distinctes. La première, notée  $M^tau$ et dite à focus temporel, est basée sur la STFT. La seconde, notée $M^nu$ et dite à focus fréquentiel, est basée sur la transformée en ondelettes. Dans les deux cas, nos premiers résultats concernent les propriétés de bases telles que la bonne définition en tant qu’application (non linéaire) de $L^2(R)$ dans $L^2(R^2)$ pour la première et de $H^2(R)$ dans $L^2(R^2,dmu)$, $H^2$ étant l’espace de Hardy réel et $dmu$ une certaine mesure propre à notre construction. Nous avons aussi montré des encadrements de normes dans des espaces correspondants. Nous avons ensuite montré des résultats liés à la linéarisation des transformées tels que des contrôles de normes mixtes et des estimés de stabilité.

Un aspect important est le choix des fonctions de focus $sigma$ utilisées pour l’adaptation de la transformée. Nous avons introduit des fonctions de focus basées sur des mesures d’entropie de Rényi locales (en temps ou en fréquence) calculées à partir d’une STFT (ou transformée en ondelettes) de référence. Les résultats de stabilité mentionnés plus haut jouent un rôle central dans la compréhension de ces fonctions de focus.

Enfin, nous avons jeté les bases pour l’étude de l’inversion des transformées adaptatives basées sur des entropies de Rényi. Sans conduire encore à des schémas d’inversion bien définis, ces premiers résultats laissent penser que de tels schémas seront accessibles.

Les résultats décrits dans cette thèse sont principalement théoriques, mais ils sont néanmoins illustrés pas quelques simulations numériques, qui prouvent que les transformées adaptatives que nous avons introduites font sens et on un réel potentiel applicatif.

Mots clés : Analyse, temps-fréquence, Fourier, ondelettes, non linéaire, harmonique, adaptatif.

Abstract :

Time-frequency transforms are extremely practical and widely used in signal processing. Unlike so-called ‘global’ transforms such as the Fourier transform, they allow local Fourier analysis, within the limits of the uncertainty principles. These express the fact that precision in the frequency domain is achieved at the expense of temporal localisation, and vice versa.

These transformations are generally based on simple general rules, which have an impact on their joint time-frequency localisation properties. For example, with the STFT (Short time Fourier transform), the temporal precision is the same at each instant and each frequency: this is known as constant time-frequency resolution.  The wavelet transform, which is used to characterise changes of scale in the function (signal) being analysed, has a frequency resolution that is proportional to the frequency being analysed: this is known as constant relative frequency resolution. There are many variants characterised by other rules linking frequency (or time) and frequency resolution. However, they are rarely adaptive (in the sense that the time-frequency resolution is not directly adapted on the basis of the characteristics of the analysed signal). And when they are, the mathematical implications of this adaptation have never, to our knowledge, been analysed in detail.

This thesis is devoted precisely to the construction and analysis of such adaptive transformations. In our construction, the resolution around a time $t$ or a frequency $omega$ can become more or less fine depending on certain criteria defined upstream. This change in resolution is achieved by introducing a function $sigma_f$ called focus function dependent on the function $f$ being analysed, which defines the local scale (in the time or frequency domain) of the analysis window, or the analysis wavelet depending on the context. Such a change in the definition of adaptive transforms thus breaks the underlying group structures and linearity of the transforms on which they are based.

We have therefore proposed two distinct transforms. The first, called $M^tau$ and referred to as time-focused, is based on the STFT. The second, called $M^nu$ and with a frequency-focus, is based on the wavelet transform. In both cases, our first results concern basic properties such as the correct definition as a (non-linear) application of $L^2(R)$ in $L^2(R^2)$ for the first and of $H^2(R)$ in $L^2(R^2,dmu)$, $H^2$ being the real Hardy space and $dmu$ a certain measure specific to our construction. We also showed some norm frames in corresponding spaces. We then showed results related to the linearisation of transforms such as mixed norm checks and stability estimates.

An important aspect is the choice of the focus function $sigma$  used to adapt the transform. We have introduced focus functions based on local (time or frequency) Rényi entropy measures computed from a reference STFT (or wavelet transform). The stability results mentioned above play a central role in understanding these focus functions.

Finally, we have laid the foundations for studying the inversion of adaptive transforms based on Rényi entropies. Although these initial results have not yet led to well-defined inversion schemes, they do suggest that such schemes will become accessible.

The results described in this thesis are mainly theoretical, but they are nevertheless illustrated by some numerical simulations, which prove that the adaptive transforms we have introduced make sense and have real application potential.

Keywords: Analysis, time-frequency, Fourier, wavelets, non-linear, harmonic, adaptative

Emplacement
I2M Saint-Charles - Salle de séminaire

Catégories

• Soutenance de thèse