Exercice 5 (Polynôme de Berstein)

Les polynômes de Berstein de degré n sont définis, pour i=0,...,n, par

$$\forall u \in \mathbb{R}, B_i^n(u) = C^i_n u^i (1-u)^{n-i}.$$

Ces polynômes sont utilisés pour définir des représentations de courbes (courbes de Bézier). Ils ont plusieurs propriétés intéressantes. En particulier, ils sont à valeurs dans [0,1], linéairement indépendants et forment une partition de l'unité. Par ailleurs, ils peuvent se définir itérativement par la formule

$$\forall n > 0, i=0,\cdots,n, \: B_i^{n}(u) = u B_{i-1}^{n-1}(u) + (1-u) B_i^{n-1}(u) \:\:\mathrm{et} \:\: B_0^0=1,$$

en prenant pour convention

$$B_{-1}^{n-1}=B^{n-1}_{n}=0.$$

1. Écrire une fonction matlab qui, pour n fixé et un ensemble U de valeurs de u, évalue les polynômes de Berstein de degré n aux points de U.
2. Évaluer et représenter graphiquement les polynómes de Berstein pour différentes valeurs de n.