Exercice 3

Soit

$$A = \{a_1, \cdots, a_n\}$$

une famille libre de vecteurs d'un même espace vectoriel E. Le procédé de Gram-Schmidt permet de trouver une base orthonormée du sous-espace vectoriel F engendré par la famille A.

Ce procédé est récursif. A l'initialisation, on définit

$$v_1 = \frac{a_1}{\Vert a_1\Vert}.$$

Supposons qu'à l'étape k (1<k<n), on dispose d'une base orthonormée

$$\{v_1,\cdots,v_k\}$$

de l'espace engendré par les k premiers vecteurs de A. On définit alors le vecteur

$$\tilde{v}_{k+1} = a_{k+1} - \sum_{l=1}^k <v_l,a_{k+1}> v_{l}.$$

puis le vecteur

$$v_{k+1}=\frac{\tilde{v}_{k+1}}{\Vert\tilde{v}_{k+1}\Vert}.$$

La famille

$$\{v_1,\cdots,v_{k+1}\}.$$

forme alors une base orthonormée de l'espace engendré par les k+1 vecteurs de A.

Mettre en uvre ce procédé dans une fonction. Utiliser cette dernière pour construire des bases orthonormées de $\mathbb{R}^n$. Pour cela, on pourra générer des familles libres de manière aléatoire comme dans l'exemple ci-dessous

A=floor(800*rand(6,6))
rank(A)