Nous commencerons le cours par une introduction historique à la notion de surface de Riemann, à travers l’étude du problème de la représentation conforme d’une surface plongée. Nous passerons ensuite à la définition et à l’étude approfondie de plusieurs exemples. Le cours se terminera par la démonstration de l’existence de fonctions méromorphes sur la plupart des surfaces de Riemann compactes. Si le temps nous le permet, nous en déduirons que les surfaces de Riemann compactes sont algébriques.
Ce cours est une introduction à l'étude des variétés et complexes (simpliciaux ou CW) du point de vue de la topologie algébrique. Après les rappels nécéssaires de topologie générale, la première partie introduit les groupes fondamentaux et revêtements et les notions de théorie des groupes associées (produits libres et amalgamés, présentations). La seconde introduit différents types d'homologie et de cohomologie associés aux variétés et complexes simpliciaux, ainsi que quelques outils essentiels d'algèbre homologique. Tout au long du cours on donnera aussi de nombreux exemples significatifs de variétés de petite dimension.
La théorie ergodique est une branche des mathématiques qui étudie le comportement à long terme des systèmes dynamiques. Elle s’intéresse à la façon dont un système évolue dans le temps et à la distribution de ses états. Il existe deux classes de systèmes dynamiques: ceux muni d'une mesure invariante, qui sont dit mesurés, et ceux muni d'une topologie, qui sont dit topologiques. Le but est d'étudier les propriétés de ces deux types de systèmes et de donner des invariants qui permettent de savoir si deux systèmes sont conjugués.
On prouvera le théorème ergodique de Birkhoff, on introduira la notion d'entropie, et les notions de mélange. Le cours sera illustré par de nombreux exemples de systèmes comme: les billards, le flot géodésique, les flots d'Anosov ou des exemples venant de la dynamique symbolique.
Ce cours est une introduction à l'étude des marches aléatoires sur les groupes discrets. Des exemples illustratifs de groupes sur lesquels marcher sir les groupes libres ou plus généralement hyperboliques au sens de Gromov, mais aussi des groupes résolubles comme les groupes abéliens, polycycliques ou certains produits en courronne.