Nous commencerons le cours par une introduction historique à la notion de surface de Riemann, à travers l’étude du problème de la représentation conforme d’une surface plongée. Nous passerons ensuite à la définition et à l’étude approfondie de plusieurs exemples. Le cours se terminera par la démonstration de l’existence de fonctions méromorphes sur la plupart des surfaces de Riemann compactes. Si le temps nous le permet, nous en déduirons que les surfaces de Riemann compactes sont algébriques.
Ce cours est une introduction à l'étude des variétés et complexes (simpliciaux ou CW) du point de vue de la topologie algébrique. Après les rappels nécéssaires de topologie générale, la première partie introduit les groupes fondamentaux et revêtements et les notions de théorie des groupes associées (produits libres et amalgamés, présentations). La seconde introduit différents types d'homologie et de cohomologie associés aux variétés et complexes simpliciaux, ainsi que quelques outils essentiels d'algèbre homologique. Tout au long du cours on donnera aussi de nombreux exemples significatifs de variétés de petite dimension.
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La (co)homologie est un concept mathématique qui permet d’analyser des
structures complexes, qu’elles soient géométriques ou algébriques, à travers des
invariants. Elle capture des informations essentielles sur la structure étudiées, qu’il s’agisse d’un espace topologique, d’un groupe ou d’une algèbre. Les différentes (co)homologies, qu’elle soit singulière (pour des espaces topologiques), de Chevalley-Eilenberg (pour des algèbres de Lie), ou de Hochschild (pour des algèbres associatives), reposent sur la (co)homologie d’un complexe de (co)chaines. Ce complexe est construit à partir de l’objet mathématique étudié.
Plan du cours :
Les ensembles simpliciaux sont des objets de nature combinatoire et discrète qui permettent de décrire les espaces. Plus précisément, à tout ensemble simplicial on peut associer un espace topologique et un théorème de Milnor affirme qu’on obtient ainsi tout espace topologique, à “équivalence faible” près. Par ailleurs, toutes les notions usuelles de la théorie de l’homotopie, comme par exemple la notion d’homotopie entre deux applications, se définissent de manière particulièrement agréable dans ce contexte simplicial.
Ainsi, tout une partie de la théorie de l’homotopie moderne tend à remplacer les espaces topologiques par les ensembles simpliciaux. Dans ce remplacement, on gagne la disparition des pathologies topologiques, une “catégorie” avec de meilleures propriétés et de nouveaux outils grâce au côté combinatoire de ces objets. Ce qu’on perd peut se résumer en un slogan : la combinatoire, c’est dur !
Le but de ce cours est de présenter une introduction aux ensembles simpliciaux et à leur théorie de l’homotopie. Nous commencerons par quelques préliminaires catégoriques sur les préfaisceaux, et notamment le lemme de Yoneda. Nous définirons ensuite les ensembles simpliciaux et étudierons leurs premières propriétés, et en particulier la décomposition en squelette. Nous définirons le foncteur de réalisation géométrique vers les espaces topologiques et son adjoint à droite, qui permet de définir l’homologie singulière. Nous énoncerons sans démonstration le théorème de Milnor qui affirme qu’en un certain sens les théories homotopiques des ensembles simpliciaux et des espaces topologiques sont les mêmes. Nous terminerons par une introduction à la théorie homotopique des ensembles simpliciaux. En particulier, nous introduirons les notions d’homotopies entre morphismes simpliciaux, d’équivalences faibles simpliciales et de complexes de Kan, qui permettent de fonder la théorie des ∞-groupoïdes.