Programmes des UE du Master 2 Mathématiques par Télé-Enseignement
de
l' Université d' Aix-Marseille
Responsables de Formation : Claudio Murolo et Anne Nouri
UE du Master 2 en Mathématiques Fondamentales (par T-E):
SMACU67T : MF1 : Formes différentielles, intégration sur les variétés et groupes de Lie, (6 Ects), Prof. K. Oeljeklaus
Variétés, champs de vecteurs, formes différentielles, applications.
Intégration sur les variétés, théorème de Stokes et ses versions classiques.
Applications, équations de Maxwell.
Groupes de Lie. Rappels sur les groupes et variétés. Algèbres de Lie. Application exponentielle.
Groupes de Lie. Formule de Campell-Hausdorff. Examples.
Actions
de groupes de Lie sur les variétés.
SMACU68T : MF2: Analyse (6 Ects) Prof. Alexander Borichev
Sous-espaces invariants et espaces de Hardy.
SMACU69T : MF3 : Introduction aux Classes Caractéristiques
(6
Ects) Prof.
Pierre DERBEZ
Dans
ce cours on définira les variétés différentielles, les champs de
vecteurs et les formes différentielles. Ces objets se voient
naturellement dans le fibré tangent et cotangent des variétés ce
qui donnera les premiers exemples de fibrés vectoriels. On étudiera
ensuite plus généralement les fibrés et leur signification
géométrique. On introduira leurs
classes caractéristiques, en particulier classes d'Euler et classes
de Chern, qui sont les premiers invariants utilisés pour tenter de
les classifier.
Chapitre 1. Variétés topologiques,
variétés différentielles, actions des groupes topologiques et des
groupes de Lie.
Chapitre 2. Formes différentielles et
cohomologie de de Rham.
Chapitre 3. Fibrés vectoriels et
classes caractéristiques.
Chapitre 4. Applications des classes
caractéristiques.
Reference : Raoul Bott, Loring W. Tu, Differential Forms in
Algebraic Topology, 1982
SMACU70T : MF4 : Systèmes
Dynamiques (6
Ects) Prof. Christophe PITTET
Le
but du cours est triple.
1) Formuler la conjecture de
Selberg, sur les valeurs propres du laplacien sur les surfaces
hyperboliques, définies par les sous-groupes de congruences.
2)
Décrire une famille de graphes, dite de Ramanujan, qui ressemble aux
surfaces hyperboliques de la conjecture de Selberg.
3) Exprimer
les proprieétés spectrales de ces surfaces et de ces graphes, à
l'aide de la théorie des représentations unitaires.
Toutes
les notions nécessaires sont développées pas à pas. La géométrie
hyperbolique et les actions de groupes jouent un rôle important dans
ces questions. Les nombres p-adiques y sont très utiles. Le fil
conducteur du cours est une analogie remarquable entre le continu et
le discret, qui associe le plan hyperbolique à l'arbre homogène de
degré p+1, le groupe modulaire sur les réels au groupe modulaire
sur les nombres p-adique, le laplacien hyperbolique au laplacien sur
les arbres.
Références :
Alexander
Lubotzky, Discrete Groups, Expanding Graphs and Invariant
Measures, Birkhauser PM 125, 1994
Serge Lang,
SL(2,R), Springer-Verlag GTM 105, 1985
André Weil, Basic Number Theory, Springer CIM, 1995
SMADU30T : MF6 : Topologie
Algébrique : Théories de l'Homologie, (6
Ects), Prof. Claudio Murolo
Chapitre
1 : Rappels de théorie de l'homotopie, Groupe Fondamental,
Théorème de Van Kampen.
Calcul de groupes d'homotopie.
Exemples fondamentaux : les groupes fondamentaux des surfaces
compactes.
Chapitre 2 : Construction de nouvelles
classes d'espaces topologiques, Complexes simpliciaux,
Caractéristique d'Euler-Poincaré, applications simpliciales,
Théorème d'approximation simpliciale,
Polyèdres et
Applications PL, Espaces obtenus attachant d'une n-cellule à un
espace X. CW-Complexes.
Exempleses fondamentaux.
Chapitre
3 : Catégories et Foncteurs, transformations naturelles de
foncteurs, Equivalences naturelles. Exemples fondamentaux. Algèbre
Homologique, Complexes de Chaines, Homologie d'un complexe de chaine.
Exemples fondamentaux.
Chapitre 4 : Axiomes
de l'Homologie. Homologie généralisée. Théorie de l' Homologie
Singulière. Théorème de Hurewich.
Suites exactes pour le
calculs des groupes d'homologie. Calculs des groupes
d'homologie d'espaces fondamentaux.
Chapitre 5 :
Applications significatives : Brouwer point fixe, Fondamentale de
l'Algèbre, invariance de la dimension, Théorème de Borsuk Hulam,
Théorème Fondamentale de l'Algèbre, Théorème de la Sphère
Chevelue. Cohomologie singulière et Dualité de Poincaré.
References
:
William S. Massey : Algebraic Topology :
An Introduction, Springer Verlag, Berlin.
Marvin J.
Greenberg, John R. Harper : Algebraic Topology: A First
Course, Mathematics Lecture Note Series, 1981.
I.M. Singer,
J.A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry,
Undergraduate Texts in Mathematics, 1977
Allen Hatcher,
Algebraic Topology, 2001
Mémoire de Recherche de M2 en Maths Fondamentales (24 Ects):
Le
Directeur de Mémoire-M2 sera attribué par les Responssables de
Formation en concertation avec l'étudiant.
Le
Mémoire-M2 peut être soutenu uniquement après avoir terminé les examens des UE à partir de Septembre et jusqu'à début de Décembre :
La date de soutenance est fixée selon la disponibilté des membres du Jury !
Pour des exemples de Mémoires-M2 soutenues en Maths-Applis-TE voir ICI vers la fin de la page web !
SMACUF4T-MA-CEPS
1 (TE) :
Equations aux
dérivées partielles: aspects théoriques, introduction aux
problèmes hyperboliques et à leur discrétisation
Enseignée
par Anne Nouri
Le
premier chapitre sera consacré à l' étude des espaces de Sobolev
en dimension 1. On étudiera en particulier les espaces H1,
H2,
les injections de Sobolev, les résultats de densité et de
prolongement, et les règles de dérivation au sens faible.
Le
deuxième chapitre portera sur la résolution des problèmes
elliptiques par des méthodes variationnelles. On rappelera
les notions de produit scalaire, d'espace de Hilbert, ainsi que le
théorème de projection sur un convexe fermé. On fera appel au
théorème de Lax-Milgram.
Le
troisième chapitre sera dédié aux équations de transport. Après
quelques exemples, on étudiera les équations de transport à
coefficients constants (solutions fortes et faibles). On considérera
également les équations de transport à coefficients variables, en
introduisant la notion de flot caractéristique. On étudiera les
solutions fortes et faibles, dans le cadre Lp,
en faisant appel à la méthode des caractéristiques.
Le
quatrième chapitre introduira les équations aux dérivées
partielles et systèmes d'équations aux dérivées partielles
hyperboliques. On étudiera les solutions classiques et leurs courbes
caractéristiques, les solutions faibles et les conditions de Rankine
Hugoniot. On déterminera les solutions faibles entropiques, ainsi
que leurs propriétés et caractérisations.
Le
cinquième chapitre sera consacré aux schémas numériques pour les
équations scalaires hyperboliques en une dimension d'espace. On
introduira des schémas à flux monotones et on mettra en évidence
de la diffusion numérique. On esquissera la convergence
d'approximations à variations bornées. On donnera des éléments
sur des schémas numériques d'ordre supérieur, type "MUSCL".
Dans le cas d'équations scalaires sur un ouvert borné, on prendra
en compte des conditions aux limites. On terminera par des éléments
sur des schémas numériques pour des équations hyperboliques
scalaires multi-dimensionnelles.
SMACUF5T-MA-CEPS
2 (TE) :
Equations aux dérivées partielles: aspects
numériques, calcul scientifique
Enseignée par
Raphaele Herbin.
La partie "Equations
aux dérivées partielles: aspects numériques" de ce cours sera
constituée de deux parties. Dans une première partie on présentera
le principe général des méthodes de Galerkin pour la résolution
d'équations aux dérivées partielles elliptiques linéaires; on
commencera par introduire formellement les espaces de Sobolev
multi-dimensionnels, puis la formulation variationnelle approchée
(bien posée) qui se ramène à la résolution d'un système linéaire
avec de bonnes propriétés, et le lemme de Céa. On verra enfin que
la question centrale reste celle de l'approximation d'une fonction
dans l'espace de dimension fini choisi.
On étudiera ensuite en
détail le cas d'éléments finis P1 1D. On commencera par voir
comment l'usage des fonctions de forme permet d'obtenir dans ce cas
un système tri-diagonal. On établira des estimations d'erreurs en
norme H1
puis en norme L2
grâce au problème dual. On
implémentera ces éléments finis P1 1D et on tracera les courbes
d'erreurs correspondantes. On présentera ensuite un ou plusieurs
exemples plus complexes, différentes conditions aux bords, le cas P2
1D...
Dans une
seconde partie on s'intéressera à la discrétisation de l'équation
de transport 1D. On commencera par l'étude des schémas aux
différences finies centrés dans le cas d'une vitesse et d'une
condition initiale régulières, puis décentrés, de la convergence
du schéma décentré amont et de la non-stabilité au sens de Von
Neumann des autres schémas. On s'intéressera ensuite au cas d'une
vitesse constante et d'une donnée initiale $L^\infty$ et on étudiera
la convergence du schéma volume fini décentré amont : estimations
uniformes et variation bornée faible, compacité
faible *
séquentielle , et enfin convergence.
La
partie "Calcul scientifique" de ce cours sera centrée sur
l'étude d'équations en une dimension d'espace: retours/compléments
sur l'équation de transport (stabilité de Von Neumann,
décentrement, condition CFL), équation
d'advection-diffusion
stationnaire ou instationnaire. Ce sera l'occasion de découvrir ou
d'approfondir certaines propriétés des schémas numériques
(stabilité, convergence) qui n'auront pas été traitées dans les
autres cours. Les schémas seront essentiellement des schémas de
type volumes finis. Une grande partie du temps sera consacrée à
l'élaboration de la démarche de calcul scientifique : cas-tests
académiques pour validation, courbes d'erreur, avant des tests dans
des cas plus généraux. Les schémas seront programmés sous
Scilab/Mathlab.
SMACUF6T-MA-CEPS
3 (TE)
Equations aux dérivées partielles avancées, équations
cinétiques et applications pour Iter
enseignée par Mihai
Bostan
La modélisation
mathématique de phénomènes complexes en physique, mécanique,
biologie, etc, s'effectue au moyen d'équations aux dérivées
partielles (edp). L'objectif de ce cours est de se familiariser avec
les équations aux dérivées partielles les plus connues. Nous
aborderons les équations de transport, les équations de Laplace et
de Poisson, ainsi que les équations paraboliques (équations de la
chaleur, de réaction-diffusion). Les pré-requis pour ce cours sont
d'un niveau relativement modeste. Il s'agit principalement de
formules d'intégration par parties (Gauss- Ostrogradski, Green), qui
sont rappelées dans l'introduction.
Le deuxième
chapitre est consacré à l'étude des équations de transport. Ce
sont des edp du premier ordre, intervenant dans le trafic routier,
les modèles cinétiques des gaz, la biologie, etc. On traite les
solutions fortes/faibles et on distingue les cas à coefficients
constants et variables. On établit le caractère bien posé de ce
problème par la méthode des caractéristiques, dont l'outil
principal est la notion de flot caractéristique. Une application
importante porte sur les équations cinétiques. Il s'agit d'étudier
la dynamique d'une population de particules chargées, sous
l'action
d'un champ électromagnétique donné. Afin d'étudier
la fusion par confinement magnétique, on s'intéresse au
comportement de la densité de présence des particules dans l'espace
des phases, lorsque le champ magnétique devient très intense. On
sépare les échelles de temps, et on en déduit des approximations
(dites gyrocinétiques), en moyennant par rapport au mouvement rapide
de rotation autour des lignes de champ magnétique.
Dans
le troisième chapitre on étudie les équations de Laplace et de
Poisson. Ce sont des edp linéaires du deuxième ordre qui modélisent
des phénomènes d'équilibre : potentiel électrostatique, membrane
en équilibre, champ gravitationnel. Dans un premier temps on
considère les solutions fortes (classiques). Dans un deuxième temps
on s'intéresse aux solutions faibles, en introduisant les espaces de
Sobolev et en faisant appel à la théorie variationnelle
(Lax-Milgram).
Dans le quatrième chapitre on
s'intéresse à l'équation de la chaleur, qui modélise des
phénomènes d'évolution: propagation de la chaleur, répartition de
substances chimiques, mélanges d'espèces, etc. On étudie la
solution fondamentale, on justifie l'existence de solution classique
pour le problème de Cauchy dans l'espace tout entier, on établit la
formule de la moyenne pour l'équation de la chaleur (sur les boules
dites de chaleur) et on en déduit le principe du maximum.
SMACUF7T-MA-CEPS
4 (TE)
Statistique
mathématique et méthodes d'ondelettes
enseignée
par Jean-Marc Freyermuth et Oleg Lepski
1) Estimation d'une
densité de probabilité en un point fixé et dans la norme Lp,
1≤ p≤ \infty sur la classe de Nikol'skii. Méthode à
noyau. Estimation d'une densité multivariée.
2)
Modèle du bruit blanc gaussien. Estimation d'un signal dans L2
sur la classe de Sobolev. Méthode par projection.
Estimation d'un signal dans Lp,
1≤ p≤ \infty sur la
classe d'H\"older. Méthode polynomiale par morceaux.
3) Bornes inférieures pour les risques minimax.
4) Analyse multi-résolution, base de Haar,
construction de bases d'ondelettes.
5)
Inconditionalité et représentation parcimonieuses de classes de
fonctions usuelles.
6) Application pour
l'estimation dans le modèle du bruit blanc Gaussien, résultats
d'optimalité de type maxiset, illustration in silico et sur données
réelles avec python.
SMACUF8T-MA-CEPS
5 (TE)
Modèles
markoviens, mouvement brownien et laplacien
enseignée
par Sebastian Mueller.
Le début du cours est
consacré à l'étude de chaines de Markov discrètes et leur
comportement asymptotique, à travers de nombreux exemples. On
introduira le mouvement brownien via les marches aléatoires, donnera
sa définition mathématique rigoureuse et ses premières
propriétés. On continuera l'étude des propriétés du
mouvement Brownien (régularité des trajectoires, temps de sortie,
...). Le cours se terminera avec l'étude du lien du mouvement
Brownien avec le laplacien.
SMADU69T-MA-CEPS
6 (TE)
Calcul
stochastique, méthodes numériques probabilistes et applications aux
mathématiques financières
enseignée
par Sébastien Darses.
Ce cours s'inscrit dans
la continuité du cours "Modèles markoviens, mouvement brownien
et laplacien". On révisera rapidement le Mouvement Brownien,
comme objet prototype des processus gaussiens, processus de Markov et
Martingales. On étendra le calcul stochastique aux martingales, on
introduira et étudiera les équations différentielles
stochastiques, les processus de diffusion, la représentation de
solutions d'EDP paraboliques et le théorème de Girsanov. On
abordera des applications en Mathématiques financières, par exemple
la théorie de réplication des options, pour lesquelles on étudiera
des méthodes numériques probabilistes pour des simulations et des
calculs de call. On s'appuiera également sur le livre de Comets
Meyre : Calcul stochastique et modèles de diffusion.
Mémoire de Recherche de M2 en Maths Appliquées (24 Ects) :
Le choix du Directeur de Mémoire sera validé par les Responssables de Formation avant le début du stage.
Ou bien Stage de M2 en Entreprise, avec une convention validée par Mme Nouri avant le début du stage (24 Ects) pour un M2-Professionnel.
Le
Mémoire-M2 peut être soutenu uniquement après avoir terminé les examens des UE à partir de Septembre et jusqu'à début de Décembre :
La date de soutenance est fixée selon la disponibilté des membres du Jury !
Pour des exemples de Mémoires-M2 soutenues en Maths-Applis-TE ou proposition de STAGE voir ICI vers la fin de la page web !