EDP du second ordre, classification

La majorité des équations différentielles qui apparaissent en physique font intervenir des dérivées partielles par rapport aux variables spatiales et temporelle, et sont donc des équations aux dérivées partielles. On se limitera ici aux équations aux dérivées partielles du second ordre, c'est à dire aux équations de la forme

$$\sum_{k,\ell} \alpha_{k\ell}\frac{\partial^2}{\partial x_k\partia... ...partial x_k} \varphi({\underline{x}}) + \gamma \varphi({\underline{x}}) = 0\ ,$$

où les $\alpha_{k\ell}$ , $\beta_k$ et $\gamma$ sont des fonctions fixées.

Dans le cas d'équations dépendant de deux variables, on distingue les trois cas suivants:

1. Equations hyperboliques: l'exemple classique est l'équation des ondes
   $$\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}(x,t) -\frac1{c^2} \frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}(x,t) = f(x,t)\ .$$

2. Equations paraboliques: l'exemple classique est l'équation de la chaleur
   $$\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}(x,t) -\alpha \frac{\partial\varphi}{\partial t}(x,t) = f(x,t)\ .$$

3. Equations elliptiques: l'exemple classique est l'équation de Laplace
   $$\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}(x,y) + \frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}(x,y) =f(x,y)\ .$$

Les solutions de ces différentes équations aux dérivées partielles ont des comportements radicalement différents, qui correspondent à des situations physiques très différentes elles aussi.

La classification est basée sur une analogie avec les côniques, et les considérations suivantes.

Considérons une EDP du second ordre, faisant intervenir deux variables $t$ et $x$ :

$$A \frac{\partial^2 f(x,t)}{\partial t^2} + B \frac{\partial^2 f(x... ...{\partial f(x,t)}{\partial t} + E \frac{\partial f(x,t)}{\partial x} =g(x,t)\ .$$ (3.1)

Par analogie avec les côniques, d'équation

$$ax^2 + bxt + ct^2 + dt + ex = g\ ,$$

cette équation est dite

• Parabolique si $B^2-4AC = 0$ .
• Hyperbolique si $B^2-4AC > 0$ .
• Elliptiques si $B^2-4AC < 0$ .

REMARQUE 3.1   En général, les paramètres $A,B,C,D$ et $E$ peuvent être des fonctions de $x$ et $t$ , de sorte que le signe du discriminant $B^2-4AC$ peut varier d'un point $(x,t)$ à l'autre, et par là l'équation changer de régime.