Définition et premières propriétés

Il est utile d'introduire à ce point la notion de fonction localement intégrable.
$\begin{definition} On dit qu'une fonction $f$\ est localement int\'egrable sur $... ...loc}({\mathbb{R}})$\ (resp. $f\in L^1_{loc}({\mathbb{R}}^+)$). \end{definition}$

$\begin{definition}[Transformation de Laplace] La transform\'ee de Laplace d'une ... ...) e^{-pt} dt\ , \end{equation}quand cette int\'egrale converge. \end{definition}$
La variable $p=\gamma+i\omega$ est une variable complexe. Le domaine des valeurs de

pour lesquelles cette intégrale est convergente pose déjà quelques problèmes. Deux remarques importantes sont à faire.

L'intégrabilité de $\left\vert e^{-pt}f(t)\right\vert$ ne dépend pas de lui même, mais seulement de sa partie réelle $\gamma=\Re(p)$ .
Si pour un certain $\gamma_0$ , la fonction $t\to e^{-\gamma_0t}f(t)$ est intégrable, alors $t\to e^{-\gamma t}f(t)$ est elle aussi intégrable pour tout $\gamma\ge\gamma_0$ .

Ceci nous conduit au résultat suivant:
$\begin{theorem} % latex2html id marker 7000Soit $f\in L^1_{loc}({\mathbb{R}}^+... ...). Si $\Re(p)=s$, on ne peut pas conclure dans le cas g\'en\'eral. \end{theorem}$

$\begin{definition} Le nombre $s$\ d\'efini ci-dessus est appel\'e abscisse d'int\'egrabilit\'e (ou abscisse de sommabilit\'e) de $F$. \end{definition}$
Il est utile de considérer quelques exemples.

$f(t) =\Theta(t)$ (la fonction de Heaviside); alors est bien définie pour $\Re(p)>0$ : l'intégrale est convergente (par contre, l'intégrale n'est pas absolument convergente pour $\Re(p)<0$ ). Donc ; et si $\Re(p)>0$ , on a

$\displaystyle F(p) = \int_0^\infty e^{-pt}\,dt = \frac1{p}\ .$

Notons que la fonction $p\in\mathbb{C}\to 1/p$ est bien définie pour tout $p\in\mathbb{C}^*$ ; cependant, elle n'est la transformée de Laplace de la fonction $\Theta$ que dans le demi-plan ${\mathbb{R}}^+\times{\mathbb{R}}$ , domaine de définition de cette dernière.
$f(t) = t^n\Theta(t)$ : de nouveau, . Si $\Re(p)>0$ , on a

$\displaystyle F(p) = \int_0\infty t^n e^{-pt} dt = \frac{n!}{p^{n+1}}\ .$
$f(t) = e^{\lambda t}$ , où $\lambda\in{\mathbb{R}}$ . L'intégrale définissant est convergente dès que $\Re(p) >\lambda$ . Donc $s=\lambda$ , et si $\Re(p)>s$ , on voit immédiatement que

$\displaystyle F(p) = \frac1{p-\lambda}\ .$
$f(t) = e^{-t^2}$ ; alors l'intégrale définissant est convergente quel que soit $p\in\mathbb{C}$ , et par conséquent $s=-\infty$ .
$f(t) = e^{t^2}$ ; alors l'intégrale définissant n'est jamais convergente, et donc $s=\infty$ .

Plus généralement, on utilise souvent le critère suivant qui donne une condition suffisante pour l'existence de la transformée de Laplace.
$\begin{proposition} Soit $f\in L^1_{loc}({\mathbb{R}}^+)$. Si il existe deux con... ...ert f(t)\vert\le A e^{-at}\ , \end{displaymath}alors $s\le a$. \end{proposition}$
La preuve est immédiate: il suffit d'insérer l'estimation précédente dans la définition de la transformée de Laplace, et de voir que

$\displaystyle \vert F(p)\vert \le A \int_0^\infty \left\vert e^{(a-p)t}\right\vert\, dt\ ,$

qui converge dès que $\Re(p) >a$ . $\spadesuit$

Les hypothèses faites dans cette dernière proposition sont suffisamment générales pour couvrir un grand nombre de cas d'intérêt.

Bruno Torresani 2007-06-26