Propriétés élémentaires

La transformation de Laplace possède un certain nombre de propriétés simples, conséquences directes de la définition. Nous donnons ci-dessous les plus simples.

1. Linéarité: Si $f,g\in L^1_{loc}({\mathbb{R}}^+)$ ont pour transformées de Laplace respectives $F(p)$ et $G(p)$ , et abscisses d'intégrabilité $s_f$ et $s_g$ , soit $h$ la fonction définie par $h(t)=f(t)+g(t)$ . Alors $s_h=\max (s_f,s_g)$ si $s_f\ne s_g$ , et $s_h\le s_f$ si $s_f=s_g$ . De plus, si $p\to H(p)$ est la TL de $h$ , alors $H(p) = F(p) + G(p)$ .
2. Translation: Soit $f\in L^1_{loc}({\mathbb{R}}^+)$ , d'abscisse d'intégrabilité $s_f$ , et soit $g$ définie par $g(t) = f(t-b)$ , où $b\in{\mathbb{R}}^+$ . Alors $g\in L^1_{loc}({\mathbb{R}}^+)$ a pour abscisse d'intégrabilité $s_g=s_f$ , et sa transformée de Laplace est donnée par
   $$G(p) = e^{-bp} F(p)\ ,\quad \Re(p)>s_g\ .$$

3. Modulation: Soit $f\in L^1_{loc}({\mathbb{R}}^+)$ , d'abscisse d'intégrabilité $s_f$ , et soit $g$ définie par $g(t) = e^{at}f(t)$ , où $a\in\mathbb{C}$ . Alors $g\in L^1_{loc}({\mathbb{R}}^+)$ a pour abscisse d'intégrabilité $s_g=s_f +\Re(a)$ , et sa transformée de Laplace est donnée par
   $$G(p) = F(p-a)\ ,\quad \Re(p)>s_g\ .$$

4. Lien avec la transformation de Fourier: Soit $f\in L^1_{loc}({\mathbb{R}}^+)$ , d'abscisse d'intégrabilité $s$ et soit $F$ sa transformée de Laplace. Pour tout $\gamma\in{\mathbb{R}},\, \gamma >s$ , soit $f_\gamma (t) = f(t) e^{-\gamma t}$ . Alors, on a pour $p=\gamma+i\omega, \gamma >s$ :
   $$F(\gamma +i\omega) = \int_0^\infty f_\gamma(t) e^{-i\omega t}\, dt = \sqrt{2\pi}\, \widehat{f_\gamma}\,(\omega)\ .$$
   Cette dernière propriété va jouer un rôle important dans le problème d'inversion de la transformation de Laplace.