La transformation de Laplace

La transformation de Laplace (TL) apparaît comme une extension de la transformation de Fourier des fonctions. Cette dernière est parfois difficile à manipuler dans le cas de certaines fonctions ne possédant pas de transformée de Fourier bornée; on a maintenant tendance à résoudre ce problème en utilisant la théorie des distributions. Cependant, la transformation de Laplace fournit une alternative relativement simple.

La transformation de Laplace permet de s'abstraire simplement de ce problème dans de nombreuses situations. Elle est couramment utilisée dans certains domaines comme le traitement du signal, ou les équations différentielles. Dans les deux cas, on utilise sa propriété essentielle, qui est de transformer les dérivations en multiplications par une variable complexe.

La transformation de Laplace existe en deux versions: la TL unilatérale, adaptée à des fonctions définies sur le demi-axe positif, et la TL bilatérale, définie sur ${\mathbb{R}}$ . On se limitera ici à la TL unilatérale.