Espaces caractérisant la régularité

Très grossièrement, la notion de régularité décrit la vitesse à laquelle varie une fonction. Plus elle varie lentement, plus elle est régulière. Par exemple, une fonction continue est plus régulière qu'une fonction discontinue, qui varie brusquement à chaque point de discontinuité.

Il existe de multiples façons de décrire (et en fait de définir) la régularité. La plus simple fait appel au degré de diffèrentiabilité.

Dans ce qui suit, $r$ est un nombre entier positif ou nul, appelé degré de régularité, ou régularité tout simplement. On note aussi, pour tout entier et toute fonction $f$ pour laquelle cette expression a un sens

La première famille d'espaces fonctionnels intéressants est la famille d'espaces de fonctions continûment différentiables:

On vérifie aisément que est un espace vectoriel. On a, de façon évidente

De même, si est un intervalle borné, on définit

est un espace vectoriel, et on a encore

Etant donnée une fonction $f$ , on définit son support par

Ceci nous permet d'introduire l'espace des fonctions continûment différentiables à support borné (ou compact)

Il s'agit de nouveau d'un espace vectoriel, et on a les inclusions