Relations entre , ${\mathcal D}({\mathbb{R}})$ et

Deux remarques sont importantes à faire. Tout d'abord, il est facile de voir que

En effet, si , nous savons qu'il existe une constante $A$ telle que

Par conséquent,

ce qui montre que .

Le second point important est contenu dans la proposition suivante, que nous donnons sans démonstration:

En d'autres termes, pour toute fonction , on peut toujours trouver une suite de fonctions appartenant à ${\mathcal D}({\mathbb{R}})$ qui converge vers $f$ en moyenne d'ordre 2. Un corollaire immédiat est que est lui aussi dense dans . C'est sur cette propriété que l'on s'appuie généralement pour étendre la transformation de Fourier à .