Les espaces de Lebesgue

Ces considérations nous permettent maintenant de nous pencher sur des espaces caractérisant les propriétés d'intégrabilité des fonctions, aprés avoir examiné des espaces caractérisant leurs propriétés de régularité.

A partir de maintenant, $p$ désigne un nombre réel supérieur à 1: . A toute fonction $f$ , on associe le nombre

Ceci permet d'introduire les espaces de Lebesgue

Il est important de remarquer que l'intégrale utilisée ici étant l'intégrale de Lebesgue, les fonctions de doivent être vues plutôt comme des classes d'équivalence de fonctions (deux fonctions étant équivalentes si elles diffèrent sur un ensemble de mesure nulle) que comme des fonctions définies en chaque point. Ceci étant entendu, l'application définit une norme sur :

1. Inégalité triangulaire: si , .
2. si et $\lambda\in\mathbb{C}$ , .
3. implique .

REMARQUE B..2   Il n'est pas tout à fait exact de dire que l'application définit une norme sur les espaces ainsi définis. En effet, si presque partout, alors , sans que $f$ soit nécessairement uniformément nulle. Pour s'abstraire de ce problème, on convient d'identifier les fonctions qui ne diffèrent que sur un ensemble de mesure nulle. Dans ce cas, la propriété 3 ci dessus est bien vérifiée.

REMARQUE B..3   Les normes introduites plus haut permettent de proposer de nouveaux critères de convergence pour les suites de fonction. On dira par exemple que la suite de fonctions de converge vers une fonction en moyenne d'ordre $p$ si . La vérification de la convergence en moyenne d'ordre $p$ utilise souvent le théorème de convergence dominée que nous avons vu plus haut.

Parmi les espaces , l'espace possède un statut particulier: il possède un produit scalaire: si , on définit

Ce produit scalaire est associé à la norme , par

On montre que ce produit est sesquilinéaire, c'est à dire qu'il vérifie les conditions suivantes:

1. Hermiticité: si , on a .
2. Linéarité à droite: pour tous , .
3. Positivité: soit . Si pour toute $g\in L^2({\mathbb{R}})$ , on a , alors .

En conséquence des propriétés précédentes, nous avons donc antilinéarité à gauche: pour tous , .

Les espaces de Lebesgue possèdent des propriétés intéressantes et utiles, appelées inégalités de Hölder et inégalités d'Young, qui sont des généralisations de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Nous les donnons sans démonstration ci-dessous.

REMARQUE B..4   On vérifie bien que dans le cas , on a , et donc l'inégalité de Hölder correspondante se ramène bien à l'inégalité de Cauchy-Schwarz.