Définitions, généralités

Généralités, équations linéaires

La grande majorité des équations différentielles n'admettent pas de solution explicite. Par exemple, l'équation différentielle

$$\cos(x)\left(\frac{d^3f(x)}{dx^3}\right)^{2.5} + x^7 \sqrt{f(x)} =\pi e^{-x}$$

est très probablement difficile à résoudre explicitement. L'une des raisons est que cette équation différentielle est non-linéaire; ainsi, étant donnée une solution $f$ , $2f$ n'est pas solution.

Il est facile de démontrer que des combinaisons linéaires de solutions d'une équation différentielle linéaire homogène sont toujours solutions de cette équation. En fait, on montre le résultat fondamental suivant

Ainsi, une équation différentielle de ce type est loin d'admettre une unique solution. L'unicité peut être retrouvée en imposant des conditions supplémentaires. Dans le cas d'une équation d'ordre $n$ , on a besoin de $n$ équations linéaires supplémentaires pour spécifier une solution unique. Ceci est généralement effectué en imposant des conditions aux bords, ou conditions aux limites .

Les équations homogènes jouent en fait un rôle fondamental. En effet, considérons une équation différentielle linéaire inhomogène, comme en (), et soient $f_1$ et $f_2$ deux solutions de cette équation. On voit alors facilement que $f_1 - f_2$ est solution de l'équation différentielle homogène

$$a_0(x)f(x) + a_1(x) f'(x) + a_2(x) f''(x) + \dots + a_n(x) f^{(n)}(x) = 0\ .$$ (2.1)

Inversement, étant donnée une solution de (), on peut lui ajouter n'importe quelle solution de l'équation homogène correspondante, le résultat étant toujours solution de (). On a donc montré

On dit que l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire inhomogène est un espace affine.

EXEMPLE 2.1   Considérons l'exemple simple

$$(x^2+1)y'(x) + 3x y(x) = x\ .$$

L'équation homogène correspondante s'écrit sous la forme

$$\frac{y'(x)}{y(x)} = \frac{-3x}{x^2+1}\ ,$$

et s'intègre facilement, pour donner

$$\ln \vert y(x)\vert = -\frac{3}2 \ln (x^2+1) + \ln\vert\lambda\vert\ ,$$

d'où la solution générale de l'équation homogène

$$y_0(x) = \lambda (x^2+1)^{-3/2}\ .$$

Par ailleurs, une solution apparente (à défaut d'être évidente) de l'équation inhomogène est donnée par

$$y_p(x) = \frac1{3}\ .$$

On en déduit la solution générale de l'équation inhomogène

$$y(x) = \frac1{3} + \lambda (x^2+1)^{-3/2}\ .$$

On obtient en fait une famille à un paramètre de solutions.

Equations homogènes à coefficients constants

Les équations différentielles linéaires à coefficients constants se traitent souvent de façon simple. Prenons le cas d'une équation du second ordre homogène

$$a f''(x) + b f'(x) + c f(x) = 0\ .$$ (2.2)

En recherchant des solutions sous la forme $f(x) = e^{\alpha x}$ , cette équation se transforme en une équation algébrique

$$a \alpha^2 + b\alpha + c = 0\ ,$$

qui se résout par la méthode des radicaux. Dans ce cas, les racines sont de la forme

$$\alpha_\pm = \frac1{2a}\left(-b\pm\Delta^{1/2}\right)\ ,$$

où $\Delta = b^2-4ac$ est le discriminant, et où $\Delta^{1/2}$ doit être compris comme $i\sqrt{-\Delta}$ si $\Delta<0$ . Supposons que $\Delta\ne 0$ . Alors on a deux solutions linéairement indépendantes de cette équation:

$$f_\pm(x) = e^{\alpha_\pm x}\ ,$$

qui engendrent bien l'espace vectoriel de dimension 2 des solutions de l'équation. La solution générale est alors de la forme

$$f(x) = A_+ e^{\alpha_+ x} + A_- e^{\alpha_- x}\ ,$$

les constantes $A_\pm$ étant déterminées par les conditions aux limites.

Le cas limite $\Delta=0$ est un peu plus complexe. En effet, il y a dans ce cas une seule racine

$$\alpha_0 = -\frac{b}{2a}$$

à l'équation caractéristique, qui ne fournit qu'une seule solution de l'équation homogène

$$f_0(x) = A_0 e^{\alpha_0 x}\ .$$

Or on sait d'après le Théorème  qu'il existe deux solutions linéairement indépendantes de l'équation de départ (puisqu'elle est du second ordre). On verra un peu plus loin une méthode (basée sur le Wronskien, permettant d'obtenir une seconde solution. Dans notre cas, cette approche se simplifie, et revient à rechercher une seconde solution, sous la forme particulière

$$f_1(dxt) = u(x) f_0(x)\ .$$

Comme $f_0(x)$ est déjà solution de l'équation homogène (), en insérant la forme particulière de $f_1$ dans (), on aboutit à une nouvelle équation que doit satisfaire $u$ :

$$a \left(u''(x)f_0(x) +2 u'(x)f_0'(x)\right) + b u'(x) f_0(x) = 0\ ,$$

soit en insérant la forme particulière de $f_0$ et en simplifiant par $e^{\alpha_0 x}$ , on aboutit à la forme particulièrement simple

$$a u''(x)=0\ ,$$

d'où

$$u(x) = \lambda x + \mu\ .$$

Ainsi, on obtient la solution générale de l'équation , dans le cas particulier $b^2=4ac$ ,

$$f(x) = (\lambda x + \mu)e^{\alpha_0 x}\ ,$$

Equations homogènes à coefficients constants: variation de la constante

La méthode de variation de la constante, ou méthode de Laplace permet de trouver une solution particulière d'équations inhomogènes, dans les cas où il n'en existe pas d'évidente. L'idée est de se baser sur la solution générale de l'équation homogène, et de ``faire varier les constantes'' dans le sens suivant.

Considérons une équation linéaire d'ordre $n$ comme en (), et supposons que l'on ait déjà obtenu la solution générale de l'équation homogène (), celle-ci engendrant un espace de dimension $n$ . La solution générale s'écrit alors comme combinaison linéaire de $n$ ``solutions élementaires''

$$y_0(x) = \alpha_1 y_{0,1}(x) +\alpha_2 y_{0,2}(x) +\dots + \alpha_n y_{0,n}(x)\ .$$

La méthode de Laplace revient à rechercher une solution particulière de () comme combinaison des solutions $y_{0,k}$ , avec coefficients variables (d'où l'expression ``variation de la constante''):

$$y_p(x) = \alpha_1(x) y_{0,1}(x) +\alpha_2(x) y_{0,2}(x) +\dots + \alpha_n(x) y_{0,n}(x)\ .$$

En insérant cette forme dans l'équation inhomogène (), on aboutit à une nouvelle équations différentielle, impliquant uniquement les fonctions $\alpha_1,\dots \alpha_n$ . Cette unique équation ne suffit (sauf dans le cas $n=1$ ) pas à caractériser ces fonctions, et il faut la compléter par d'autres.

On ne traitera pas ici le cas général, et on se limitera aux cas $n=1$ ou $2$ .

Dans le cas $n=1$ , partant d'une équation

$$f'(x) + a(x) f(x) = g(x)\ ,$$

partons d'une solution $f_0$ de l'équation homogène, et soit $f_1(x) = \alpha(x) f_0(x)$ . Alors, $f_1'(x) = a(x) f_0'(x) + a'(x) f_0(x)$ . En insérant cette solution dans l'équation inhomogène, et en utilisant l'équation homogène pour simplifier l'expression ainsi obtenue, on se ramène à

$$\alpha'(x) f_0(x) = g(x)\ ,$$

d'où la solution

$$\alpha(x) = \alpha(x_0) + \int_{x_0}^x \frac{g(y)}{f_0(y)}\, dy\ ,$$

d'où on déduit la solution de l'équation inhomogène. Reprenons l'exemple précédent.

EXEMPLE  (SUITE). Dans ce cas, on recherche une solution sous la forme

$$y(x) = \alpha(x)(1+x^2)^{-3/2}\ .$$

On a alors, compte tenu du fait que $y_0$ est solution de l'équation homogène,

$$(1+x^2)y'(x) +3x y(x) = \alpha'(x) (1+x^2)^{-1/2}$$

Imposer que $y$ soit solution de l'équation inhomogène implique que

$$\alpha'(x) = x\sqrt{1+x^2}\ ,$$

d'où

$$\alpha(x) = \lambda + \int_{0}^x t\sqrt{1+t^2}\,dt = \lambda + \frac1{2}\int_{0}^{x^2} \sqrt{1+u}\,du = \lambda + \frac1{3} (1+x^2)^{3/2}\ ,$$

$\lambda$ étant une constante d'intégration. Finalement, on obtient bien la solution générale

$$y(x) = \alpha(x)(1+x^2)^{-3/2} = \lambda (1+x^2)^{-3/2} + \frac1{3}\ .$$

Le cas des équations du second ordre est un peu plus complexe, car l'espace vectoriel engendré par les solutions de l'équation homogène est de dimension 2. On peut alors imposer une condition supplémentaire sur $\lambda_1$ et $\lambda_2$ . On choisit en général

$$\lambda_1'(x) f_1(x) + \lambda_2'(x) f_2(x) = 0\ ,$$

arbitraire... mais efficace.

Partons d'une équation de la forme

$$f''(x) + a(x)f'(x) + b(x) f(x) = g(x)\ ,$$

considérons deux solutions $f_1$ et $f_2$ de l'équation homogène, etr recherchons une solution de l'équation inhomogène sous la forme

$$f(x) = \lambda_1(x) f_1(x) + \lambda_2(x) f_2(x)\ .$$

On a alors

$$f'(x) = \lambda_1(x) f_1'(x) + \lambda_1'(x) f_1(x) + \lambda_2(x) f_2'(x)+ \lambda_2'(x) f_2(x) =\lambda_1(x) f_1'(x) +\lambda_2(x) f_2'(x) \ ,$$

compte tenu de la condition supplémentaire imposée, et donc

$$f''(x) = \lambda_1(x) f_1''(x) + \lambda_1'(x) f_1'(x) + \lambda_2(x) f_2''(x)+ \lambda_2'(x) f_2'(x)\ .$$

En insérant cela dans l'équation de départ, on aboutit pour tout $x$ au système linéaire d'équations en $(\lambda_1'(x),\lambda_2'(x))$

$$\left\{ \begin{array}{lll} \lambda_1'(x) f_1'(x) + \lambda_2... ...'(x) f_1(x) + \lambda_2'(x) f_2(x) &=& 0\ . \end{array}\right.$$

Le déterminant de ce système, appelé Wronskien,

$$W(x) = f_1(x)f_2'(x) - f_2(x)f_1'(x) = f_1(x)^2 \frac{d}{dx}\left(\frac{f_2(x)}{f_1(x)}\right)$$

est non nul, donc il existe une unique solution $(L_1(x),L_2(x))$ , d'où

$$(\lambda_1(x),\lambda_2(x)) = \left(\int L_1(x)dx,\int L_2(x)dx\right)\ .$$

EXEMPLE 2.2   On considère l'équation du second ordre

$$f''(x) + f'(x) -2 f(x) = \frac1{{\rm ch}(x)}\ .$$

L'équation homogène est à coefficients constants, et se prête donc bien à des solutions sous forme d'exponentielles. L'équation caractéristique

$$\alpha^2 +\alpha -2=0$$

admet les deux racines $\alpha_1=1$ et $\alpha_2=-2$ , d'où la solution générale de l'équation homogène

$$f_0(x) = \lambda_1 e^x + \lambda_2 e^{-2x}\ .$$

On utilise maintenant la variation de la constante. La condition supplémentaire prend ici la forme

$$\lambda_1'(x) e^x + \lambda_2'(x)e^{-2x} = 0\ ,$$

d'où on tire

$$\lambda_2'(x) = -\lambda_1'(x)e^{3x}\ .$$

En reportant cela dans l'autre équation, on obtient

$$\lambda_1'(x)\left(f_1'(x) - e^{3x}f_2'(x)\right) = \frac1{{\rm ch}(x)}\ ,$$

c'est à dire

$$\lambda_1'(x) =\frac2{3} \frac1{e^{2x}+1}\ .$$

On a donc

$$\lambda_1(x) = \lambda_1(0) + \frac2{3} \int_0^x \frac{dy}{e^{2y}+1}$$

$$= \lambda_1(0) + \frac2{3} \int_1^{e^x} \frac{du}{u(u^2+1)}$$

$$= \lambda_1(0) + \frac2{3} \int_1^{e^x} \left(\frac1{u} - \frac{u}{u^2+1}\right)\,du$$

$$= \lambda_1(0) + \left[\frac{2}3 \ln \vert u\vert - \frac1{3}\ln (u^2+1)\right]_1^{e^x}$$

$$= C_1 + \frac1{3}\ln (1+e^{-2x})\ ,$$

où $C_1$ est une constante. Un calcul similaire donne

$$\lambda_2(x) = \lambda_2(0) + \frac2{3} \int_1^{e^x}\frac{u^2\,du... ...2+1} = \lambda_2(0) + \frac2{3} \int_1^{e^x} \left( 1-\frac1{u^2+1}\right)\,du$$

d'où on déduit

$$\lambda_2(x) = C_2 +\frac2{3}\left( \hbox{Arc}\tan (e^x) - e^x\right)\ ,$$

pour une certaine constante $C_2$ . De là on déduit la solution particulière, puis la solution générale de l'équation inhomogène.

Facteur intégrant pour les équations linéaires du premier ordre

Considérons une équation différentielle du premier ordre, de la forme

$$\frac{dy}{dx}(x) = \psi(x,y)\ .$$

Dans les cas où $\psi$ ne dépend pas explicitement de $y$ , la solution est de la forme

$$y(x) = C + \int_{x_0}^x \psi(z)\,dz\ ,$$

où $C=y(x_0)$ est une constante. Dans le cas général, il existe une famille de solutions, dépendant d'un paramètre $C$ , données de façon implicite

$$\Xi(y,x,C)=0\ .$$

On se limite aux équations du pemier ordre linéaires. La forme la plus générale est

$$y'(x) + a(x)y(x) = b(x)\ ,$$ (2.3)

$a$ et $b$ étant des fonctions continues dans un intervalle $[a,b]$ , et $y_0=y(x_0)$ est une condition donnée ( $x_0\in [a,b]$ ).

On peut remarquer que le facteur intégrant est défini à une constante multiplicative près.

Dans ces conditions, la solution de () est explicite:

$$y(x) = \frac{\alpha(x_0)y_0}{\alpha(x)} + \frac{1}{\alpha(x)}\int_{x_0}^x \alpha(z)b(z)\,dz\ .$$ (2.4)

Le facteur intégrant doit satisfaire

$$\frac{d\alpha}{dx}(x) = \alpha(x) a(x)\ ,$$

de sorte que la solution est (en fixant la constante multiplicative pour que $\alpha(x_0)=1$ )

$$\alpha(x) = \exp\left\{\int_{x_0}^x a(z)\,dz\right\}\ .$$ (2.5)

EXEMPLE 2.3   On considère l'équation différentielle du premier ordre

$$y'(x) + x y(x) = x\ ,$$

avec la condition $y(x_0)=y_0$ . On vérifie aisément que le facteur intégrant est de la forme

$$\alpha(x) = \exp\left\{(x^2-x_0^2)/2\right\}$$

(donc $\alpha(x_0)=1$ ), de sorte que la solution s'écrive finalement

$$y(x) = e^{-(x^2-x_0^2)/2}\left[y_0 + \int_{x_0}^x z e^{(z^2-x_0^2)/2}\,dz\right] = 1 + (y_0-1)e^{-(x^2-x_0^2)/2}\ .$$

Equations du second ordre, Wronskien

Le Wronskien vérifie l'équation du premier ordre

$$\frac{dW}{dx}(x) = - \alpha(x) W(x)\ ,$$

de sorte que sa forme est

$$W(x) = W(x_0) \exp\left\{-\int_{x_0}^x \alpha(z)\,dz\right\}\ .$$ (2.6)

Ceci permet de déduire la seconde solution connaissant la première. On a en effet

$$\frac{y_1(x)y_2'(x)-y_1'(x)y_2(x)}{y_1(x)^2} = \frac{W(x)}{y_1(x)^2}\ ,$$

d'où

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{y_2(x)}{y_1(x)}\right) = \frac{W(x)}{y_1(x)^2}\ .$$

On en déduit par intégration

$$y_2(x) = \frac{y_2(x_0)}{y_1(x_0)} y_1(x) + y_1(x) \int_{x_0}^x \frac{W(u)}{y_1(u)^2}\,du\ .$$ (2.7)

Ainsi, connaissant une première solution d'une équation homogène du second ordre, on peut en déduire une seconde, linéairement indépendante.