Évènement

Soient N ≥ 1 et χ₁, …, χ_N des caractères de Dirichlet primitifs, pairs et deux à deux distincts, de conducteur q₁, …, q_N, respectivement. Posons pour c_j ∈ ℝ*

F(s) := Σ_j=1^N c_j L(s, χ_j),

et faisons l’hypothèse que les fonctions L satisfont toutes la même équation fonctionnelle. Nous distinguons les zéros de F en deux catégories : des zéros dits triviaux, impliqués par l’équation fonctionnelle vérifiée par F, et des zéros dits non-triviaux, confinés dans une bande verticale V. Nous notons N(T) le nombre de zéros de F dans le rectangle {z∈V : Im(z) ∈ [0, T] } et  N₀(T) le nombre de ces zéros qui sont sur la droite critique.

À la fin des années 90, Selberg donna les grandes lignes d’un raisonnement prouvant qu’une proportion positive de zéros non-triviaux de F sont sur la droite critique, en établissant que

κ_F := liminf_T (N₀(2T)-N₀(T)) / (N(2T)-N(T)) ≥ c/N²

pour un certain c > 0. Nous proposons alors d’améliorer et d’expliciter cette minoration, en démontrant en particulier que

κ_F ≥ 2,16·10^-6 / (N log N),

pour tout N assez grand.