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Aix-Marseille Université
Institut de Mathématiques de Marseille (I2M) - UMR 7373
3 place Victor Hugo
Case 19
13331 Marseille Cedex 3

Séminaires

Zéros de combinaisons linéaires de fonctions L de Dirichlet sur la droite critique (Jérémy Dousselin)

Jérémy Dousselin
Univ. Lorraine

Date(s) : 18/06/2024   iCal
11h00 - 12h00

Soient N ≥ 1 et χ1, …, χN des caractères de Dirichlet primitifs, pairs et deux à deux distincts, de conducteur q1, …, qN, respectivement. Posons pour cj ∈ ℝ*
F(s) := Σj=1N cj L(s, χj),
et faisons l’hypothèse que les fonctions L satisfont toutes la même équation fonctionnelle. Nous distinguons les zéros de F en deux catégories : des zéros dits triviaux, impliqués par l’équation fonctionnelle vérifiée par F, et des zéros dits non-triviaux, confinés dans une bande verticale V. Nous notons N(T) le nombre de zéros de F dans le rectangle {zV : Im(z) ∈ [0, T] } et  N0(T) le nombre de ces zéros qui sont sur la droite critique.
À la fin des années 90, Selberg donna les grandes lignes d’un raisonnement prouvant qu’une proportion positive de zéros non-triviaux de F sont sur la droite critique, en établissant que
κF := liminfT (N0(2T)-N0(T)) / (N(2T)-N(T)) ≥ c/N2
pour un certain c > 0. Nous proposons alors d’améliorer et d’expliciter cette minoration, en démontrant en particulier que
κF ≥ 2,16·10-6 / (N log N),
pour tout N assez grand.

 

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