Évènement

Hugo Leblanc
I2M

Date(s) : 10/03/2026   iCal
10h00 - 12h00

• Lénaïc CHIZAT – Assistant professor, École Polytechnique Fédérale de Lausanne – rapporteur
• François-Xavier VIALARD – Professeur, Université Gustave Eiffel – rapporteur et président du jury
• Elsa CAZELLES – Chargée de Recherche, Université de Toulouse – examinatrice
• Bertrand MICHEL – Professeur, École Centrale Nantes – examinateur
• Nathael GOZLAN – Professeur, Université Paris Cité – examinateur
• Frédéric RICHARD – Professeur, Aix-Marseille université – examinateur
• Thibaut LE GOUIC – Maître de conférences, École Centrale Méditerranée – directeur de thèse
• Magali TOURNUS – Maître de conférences, École Centrale Méditerranée – codirectrice de thèse

Mots clés : transport optimal, transport optimal déséquilibré, mesure positive, distance de Wasserstein, géodésiques, barycentre, optimisation, flot gradient, convergence faible, semigroup de Markov, équation de Kolmogorov, Chi-2.

Résumé:
La distance de Wasserstein est un outil issu de la théorie du transport optimal, avec des applications dans de nombreux domaines, notamment l’apprentissage automatique, le traitement d’images, les statistiques, la mécanique des fluides, et d’autres encore. Elle fournit un moyen pertinent de quantifier la distance entre des distributions de probabilité en tenant compte de la géométrie de l’espace sous-jacent. La limitation qui impose d’avoir des mesures de même volume est résolue grâce à la théorie du transport optimal déséquilibré, qui autorise la création et la destruction de masse. Dans ce travail, nous étudions plus en détail la formulation duale du transport déséquilibré et fournissons une expression analytique des géodésiques via une formule de type McCann.
Dans ce cadre, nous étendons la distance de Wasserstein à l’espace des mesures positives, en visant à préserver ses propriétés essentielles comme l’existence de géodésiques pour une interpolation cohérente, la complétude, ou le contrôle de la convergence faible des mesures. Nous introduisons deux distances qui constituent des extensions satisfaisantes de la distance p-Wasserstein aux comportements différents.
La première distance, Wp généralisé , est définie pour 1 ≤ p ≤ 2 sur tout espace géodésique borné. Ses géodésiques séparent fortement la création de masse du transport. Elle hérite également des propriétés issues des travaux existants sur la théorie standard du transport optimal déséquilibré. La deuxième distance, notée WOP, peut être définie pour tout p ≥ 1 sur l’espace des mesures sur R^n. Son interpolation géodésique combine une variation linéaire de masse avec le transport de Wasserstein. Pour WOP, nous détaillons les géodésiques, les barycentres, la structure de variété pseudo-Riemannienne induite, ainsi que les flots gradients pour les fonctionnelles usuelles sur les mesures.
Dans un second travail, nous étudions de manière informelle la construction de distances sur l’ensemble des mesures de probabilité de sorte que le flot de gradient de la fonctionnelle Chi-2 coïncide avec l’équation d’évolution associé à un générateur infinitésimal adéquat. Les flots gradients sont des courbes qui suivent la direction localement optimale induite par une distance donnée afin de diminuer une fonctionnelle aussi efficacement que possible. Le choix d’une distance bien adaptée permet ainsi une convergence rapide vers un minimum, ce qui est particulièrement utile en optimisation. Mais cela permet aussi d’exprimer une équation d’évolution comme un flot gradient pour une fonctionnelle appropriée, une perspective utile pour l’étude des solutions aux EDPs.

Keywords: optimal transport, unbalanced optimal transport, positive measures, Wasserstein distance, geodesics, barycenter, optimization, gradient flow, weak convergence, Markov semigroup, Kolmogorov equation, Chi-2.

Abstract:
The Wasserstein distance is a tool from the theory of optimal transport with applications across many fields, including machine learning, image processing, statistics, fluid mechanics, and others. It provides a meaningful way to quantify the distance between probability distributions by taking into account the geometry of the underlying space. The limitation of the measure having the same volumes is overcome with the unbalanced optimal transport theory, which allows for mass creation and destruction. In this work, we further study the duality formulation of unbalanced transport and provide an analytic expression for geodesics via a McCann type formula for this framework.
Within this scope, we extend the Wasserstein distance to the space of positive measures, aiming to preserve its key properties, such as the existence of geodesics for coherent interpolation, completeness, and the ability to metrize weak convergence of measures. We introduce two distances that provide satisfactory extensions of the p-Wasserstein distance, which differ by their behavior. The first one generalized Wp is defined for 1 ≤ p ≤ 2 on any bounded, geodesic underlying space. Its associated geodesics strongly separate mass creation from transport. It also inherits several properties from existing studies on the standard framework of unbalanced optimal transport. The second distance, denoted WOP, can be defined for any p ≥ 1 for positive measures on R^n . Its associated geodesic interpolation combines linear mass variation with Wasserstein transport. For WOP, we study the geodesics, the barycenters, the induced pseudo-Riemannian manifold structure, and the gradient flows for standard functionals over measures.
In a second work, we informally investigate the construction of distances on probability measures for which the gradient flow of the Chi-2 functional coincides with the evolution equation generated by a well-behaved infinitesimal generator. Gradient flows are curves that follow the locally optimal direction induced by a given distance in order to decrease a functional as efficiently as possible. Choosing a well-adapted distance therefore enables fast convergence toward a minimizer, which is particularly valuable in optimization. Moreover, it allows an evolution equation to be expressed as a gradient flow for the appropriate functional, a perspective that is useful
for studying solutions of PDEs.

Emplacement
Saint-Charles - FRUMAM (2ème étage)

Catégories

• Soutenance de thèse