Évènement

Axel PENEAU
Université de Tours

Date(s) : 28/04/2026   iCal
14h30 - 15h30

On s'intéresse à une marche aléatoire $(g_n = gamma_0cdotsgamma_{n-1})$ à pas indépendants et de même loi dans $SL_2(RR)$. On appelle projection de Cartan l'application sous-additive $g mapsto log|g|$. Il a été montré par Benoist et Quint que si $kappa(gamma_0)$ a un moment d'ordre $2$ fini et que les $g_n$ ne sont pas tous presque sûrement dans un sous-groupe virtuellement résoluble de $SL_2(RR)$ alors $kappa(g_n)$ satisfait un  théorème central limite auto-normalisé au sens où la loi de $(kappa(g_n) - b_n) /a_n$ converge vers une loi normale quand $b_n$ est l'espérance de de $kappa(g_n)$ et $a_n$ est la racine carrée de sa variance. Ce résultat découle du TCL pour les martingales stationnaires. 
Supposons maintenant que $kappa(g_1)$ a un moment d'ordre $2$ infini, on s'intéresse aux limites possibles de la loi de $(kappa(g_n) - b_n) /a_n$ pour $a_n$ et $b_n$ des suites arbitraires. Le théorème central-limite généralisé de Paul Lévi décrit les limites possibles de la loi de $(sum_{k < n}kappa(gamma_k) - b_n) /a_n$ et donne l'expression des suites $(a_n)$ et $(b_n)$ en fonction de la queue de la loi de $kappa(gamma_0)$.
Malheureusement la somme des projections de Cartan $sum_{k < n}kappa(gamma_k)$ n'est pas égale à la projection de Cartan du produit $kappa(gamma_0cdotsgamma_{n-1})$. De plus, le théorème central limite généralisé pour les martingales étant faux il est hors de question d'appliquer la méthode de Benoist et Quint. 
Par chance j'ai obtenu un résultat de gain de moment duquel on déduit une loi faible des grands nombres pour la différence $kappa(gamma_0cdotsgamma_{n-1})  - sum_{k < n}kappa(gamma_k)$. Ce résultat vient d'une propriété locale-vers-globale de contraction dans les groupes linéaires que j'expliquerais, d'une construction astucieuse de temps de renouvellement et d'un argument probabiliste élémentaire : le minimum de deux variables aléatoires indépendantes et $L^{1}$-intégrables est $L^{2}$-intégrable.

Emplacement
Saint-Charles - FRUMAM (2ème étage)

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