L'unité d'enseignement ENSMI5U7
« Histoire des mathématiques »

Le but de ce cours est d’éveiller la curiosité des élèves en situant dans l’histoire les connaissances mathématiques qu’on leur demande d’acquérir. Ce cours permet d’avoir un accès direct à la gestation des concepts mathématiques en présence des textes et ouvrages originaux où des nouvelles idées sont exposées et une compréhension de la complexité pour créer de nouveaux concepts et de nouvelles méthodes.

Le propos de ce cours d’initiation à l’histoire des mathématiques est de faire comprendre la nature et la genèse des concepts mathématiques d’aujourd’hui. A partir du XIX siècle il s’est produit une véritable mutation en mathématiques par la création de nouvelles méthodes et de nouveaux objets bien différents des objets mathématiques classiques : les nombres et les figures. Cette abstraction accrue ne signifie aucunement une rupture avec le passé : les problèmes à résoudre ne sont que l’héritage de l’âge classique ou de nouvelles acquisitions de la physique. Or, il n’est pas possible de comprendre l’évolution des mathématiques d’aujourd’hui si l’on n’a pas au moins une idée même sommaire de son histoire. Puisque les mathématiques actuelles font usage du concept d’ensemble infini, indispensable dans presque toutes les différentes branches de la mathématique, nous prendrons comme thème le concept d’infini qui n’a été complètement précisé qu’aux XIXème et début du XXème siècles. Nous n’allons parcourir qu’une infime partie de la longue évolution du concept qui a été marquée de difficultés et de controverses. Dans cette perspective, le cours s’organisera autour de trois repères significatifs du traitement de l’infini. Le premier serait l’infini comme obstacle. Le second, l’infini comme concept positif. Le troisième, l’infini comme tradition et nouveauté. C’est cette triple distinction qui servira de fil conducteur à la réflexion sur l’infini dans l’acte créateur des mathématiciens.

Contenu du cours.

• Introduction. On esquissera la situation de l’infini dans les mathématiques actuelles en présentant deux idées génératrices de cette notion d’infini qui remontent toutes deux à une conception philosophique dans la pensée hellénique. Première partie : L’infini comme obstacle. Dès ses origines la mathématique grecque s’est heurtée à l’infini. Néanmoins les mathématiciens grecs ont réussi à surmonter cet obstacle épistémologique en contournant ou en évacuant le problème de l’infini. Nous partirons de la découverte de l'irrationalité et l'effort mathématique pour dépasser le problème de l’infini en insistant sur l’usage de la méthode d’exhaustion par Hippocrate de Chio (2ème moitié du Vème siècle av.J.-C.) et Archimède (287 – 212 av.J.-C.).
• Deuxième partie : L’infini comme concept positif. Ce second grand moment dans l’histoire de l’élaboration de ce concept se situe au XVIIème siècle. Entre des motivations philosophiques, théologiques et physiques, le traitement proprement mathématique de l’infini conduira à la construction d’une géométrie de l’infini et d’un calcul infinitésimal. Nous étudierons l’élaboration de ce concept par les travaux de deux grands mathématiciens. Desargues (1591-1661) qui bouscule la tradition en construisant une géométrie de l’infini dans un espace fini, celui de la sphère. Leibniz (1646 – 1722) qui fonde le nouveau calcul de l’infini (calcul différentiel et intégral) en surmontant les difficultés provenant directement de la nouvelle science du mouvement.
• Troisième partie : L’infini comme tradition et nouveauté. La notion de nombre, voire des nombres complexes et réels, sur laquelle reposent les travaux en analyse et théorie des nombres durant les XVIIème et XVIIIème siècles, n’a pas été définie depuis les Eléments d’Euclide où la théorie des proportions donnait un statut aux grandeurs incommensurables. Il faudra attendre le XIXème siècle pour que les concepts de nombre, de continu et avec eux d’infini soient l’objet d’une construction mathématique rigoureuse. On se concentrera d’abord, sur la définition rigoureuse de la continuité et la construction du concept de nombre irrationnel dans les travaux de Richard Dedekind (1831 – 1916) et ensuite, sur la redéfinition du concept de nombre qui inclut celui de nombre infini comme cardinal d’un ensemble infini dans la théorie des ensembles de Georg Cantor (1845 – 1918). <\ul>

Aucun

Deux conditions à remplir pour la note qui servira à constituer votre note globale : Une série de contrôles continus CC et l'examen final E NF=MAX(E,(2*E+CC)/3)