Compléter les connaissances sur les vecteurs et sur les nombres
complexes. Connaître les différentes représentations des droites et des
plans. Donner des notions sur l'arithmétique et les racines des
polynômes. Apprendre à faire des démonstrations.
Contenus
Calcul vectoriel et
géométrie (3 semaines) : Vecteurs
du planR2 et de l'espaceR3. Produit scalaire, déterminant de deux vecteurs de R2 et produit vectoriel de deux vecteurs
de R3. Bases
et repères (orthonormés, directs) de R2 et de R3. Système d'équations paramétriques
pour une droite ou un plan. Equation
cartésienne d'une droite de R2
ou d'un plan de R3,
et système d'équations cartésiennes
pour une droite de R3.
Nombres complexes et
géométrie (4 semaines) : Nombres
complexes, opérations, module
et argument d’un nombre
complexe, écriture trigonométrique,
inégalité triangulaire, image d’un nombre complexe dans le
plan, affixe d’un point du
plan. Lien avec les vecteurs de R2.
Notation exponentielleeit
= cos t + i sin t et définition de ez = exeiy pour z = x + iy. Somme d’une suite géométrique, formule du binôme de Newton. Racines n-ièmes de l’unité et
résolution de zn =
a. Résolution d’une
équation du second degré à coefficients dans C. Utilisation des nombres complexes
en géométrie plane : problèmes d’angles et de distances,
transformations du plan : translations,
homothéties, symétries, rotations.
Arithmétique (3 semaines) : Arithmétique dans Z (division
euclidienne, multiples,
diviseurs, nombres premiers, PPCM, PGCD). Nombres premiers entre eux, lemme de Gauss, et décomposition en facteurs premiers.
Théorème de Bezout et algorithme d’Euclide.
Polynômes (2 semaines) : Arithmétique des polynômes. Polynômes premiers entre eux. Théorème de Bezout et algorithme d’Euclide. Décomposition en produit de facteurs
irréductibles. Nombre de racines d'un polynôme de degré n à coefficients dans R ou C.