La convolution finie

Etant données deux fonctions $f,g$ définies et localement intégrables sur ${\mathbb{R}}^+$ , on définit naturellement leur produit de convolution par

$$(f*g)(t) = \int_0^t f(\tau) g(t-\tau) d\tau\ .$$ (4.1)

Il est facile de vérifier que si $f,g\in L^1_{loc}({\mathbb{R}}^+)$ , alors $f*g\in L^1_{loc}({\mathbb{R}}^+)$ aussi, de sorte que l'on peut s'intéresser à sa transformée de Laplace.

Preuve: Il suffit de considérer

$$\int_0^\infty \int_0^t f(s) g(t-s)\, ds\, e^{-pt}dt = \int_0^\infty \int_0^t f(s)e^{-ps} g(t-s) e^{-p(t-s)}\,ds\,dt\ .$$

Un changement de variables $u=t-s$ , suivi du lemme de Fubini, permet d'obtenir (), à condition que $F(p)$ et $G(p)$ soient bien définies, ce qui est assuré dès que $\Re(p)>\max (s_f,s_g)$ . Ceci conclut la preuve. $\spadesuit$

Ce résultat trouvera son intérêt quand on considèrera la transformation de Laplace inverse. Cette propriété est aussi utile pour évaluer certaines intégrales, comme le montre l'exemple suivant.

EXEMPLE 4.1   On peut montrer que la transformée de Laplace de la fonction de Bessel $t\to J_0(t)$ est la fonction $p\to F(p) = 1/\sqrt{p^2+1}$ , définie pour $\Re(p)>0$ . Donc, $F(p)^2=1/(1+p^2)$ , qui n'est autre que la transformée de Laplace de la fonction $t\to\sin t$ . Par conséquent (cela découle en fait de l'inversibilité de la transformation de Laplace que nous allons voir plus loin), on en déduit

$$\int_0^s J_0(s)J_0(t-s)\,ds = \sin t\ .$$