Propriétés de régularité

La transformée de Laplace est holomorphe

L'un des intérêts de la transformation de Laplace est que dans le domaine où elle est définie, elle est holomorphe. Ceci permet alors d'utiliser des techniques d'intégration dans le plan complexe, en particulier pour le calcul de la transformation de Laplace inverse que nous allons voir plus bas.

Plus précisément, on a le résultat suivant:

Preuve: Commençons par étudier l'abscisse d'intégrabilité de la fonction $t\to t^m f(t)$ , noté $s'$ . Pour $t\ge 1$ , on a $\vert f(t)e^{-pt}\vert\le t^m \vert f(t)e^{-pt}\vert$ . Donc l'intégrabilité de $t\to t^m \vert f(t)e^{-pt}\vert$ dans $[1,\infty[$ implique l'intégrabilité de $t\to \vert f(t)e^{-pt}\vert$ dans $[1,\infty[$ , et donc dans $[0,\infty[$ . Par conséquent, on a $s'\ge s$ .

Inversement, pour tout $\epsilon>0$ , on peut toujours trouver $t_0\ge 0$ tel que pour tout $t\ge t_0$ , on ait $t^m \vert f(t)e^{-pt}\vert\le \vert f(t)e^{-(p-\epsilon)t}\vert$ . L'argument précédent montre donc que pour tout $\epsilon>0$ , on a $s'\le s+\epsilon$ . Par conséquent, $s'=s$ .

On peut donc dériver sous le signe somme, et on obtient bel et bien l'expression voulue. L'holomorphie est donnée par le case $m=1$ . $\spadesuit$

EXEMPLE 4.2   Reprenons le cas particulier de la fonction

$$f(t) = \cos(\lambda t)\ .$$

Cette fonction n'admet pas de transformée de Fourier dans le sens usuel (la théorie des distributions permet d'en définir une), mais possède une transformée de Laplace. Un calcul explicite donne

$$F(p) = \frac1{2}\int_0^\infty \left(e^{-(p-i\lambda)t}+e^{-(p+i\l... ...\left(\frac1{p-i\lambda}+\frac1{p+i\lambda}\right) =\frac{p}{p^2+\lambda^2}\ ,$$

à condition de se limiter à $p>0$ (c'est à dire que l'on a $s=0$ ). La fonction que l'on obtient est bien holomorphe dans le demi-plan (ouvert) ${\mathbb{R}}^+ +i{\mathbb{R}}$ . Par contre, noter les deux pôles en $p=\pm i\lambda$ .

REMARQUE 4.1   L'exemple précédent est aussi intéressant pour la raison suivante. La fonction $p\to p/(p^2+\lambda^2)$ est en fait bien définie dès que $p\ne\pm i\lambda$ . Cependant, cette fonction n'est transformée de Laplace de $t\to \cos\lambda t$ que dans le domaine ouvert ${\mathbb{R}}^+ +i{\mathbb{R}}$ (la TL n'étant pas définie ailleurs). Dans le reste du plan complexe (privé de $\pm i\lambda$ bien sûr), elle n'est que le prolongement analytique de la TL du cosinus.

Transformation de Laplace et dérivation

Nous avons déjà vu que la transformation de Fourier se comporte de façon remarquable vis à vis des opérateurs différentiels (ce qui ètait d'ailleurs le point de départ du travail de J. Fourier). La transformation de Laplace possède des propriétés similaires, à une petite différence près, qui vient du fait que l'on ne travaille que sur le demi axe réel positif^4.1: les valeurs de $f$ et ses dérivées à l'origine interviennent, comme conséquence d'intégrations par parties successives. Pour cela, il faut que ces valeurs soient définies, ce qui suppose des hypothèses de régularité sur la fonction étudiée.

Preuve : Commençons par le cas $m=1$ . Il suffit de calculer, pour $\Re(p) >a$ ,

$$[{\mathcal L}f'](p) = \int_0^\infty f'(t)e^{-pt}\,dt$$

$$= \left[f(t)e^{-pt} \right]_0^\infty + p\int_0^\infty f'(t)e^{-pt}\,dt$$

$$= pF(p)-f(0)\ .$$

La disparition du terme tout intégré évalué en $t=\infty$ résulte de (), et du fait que $\Re(p) >a$ . Pour $m$ quelconque, il suffit d'itérer comme suit

$$[{\mathcal L}f^{(m)}](p) = p[{\mathcal L}f^{(m-1)}](p)- f^{(m-1)}(0)\ ,$$

qui donne () par récurrence. Ceci conclut la preuve. $\spadesuit$

Cette dernière propriété est souvent utilisée pour la résolution d'équations différentielles ou d'équations aux dérivées partielles.

EXEMPLE 4.3   Prenons l'exemple de l'équation de Poisson

$$\Delta u = f\ ,$$ (4.2)

où $f$ est un second membre fixé, et $\Delta =d^2/dx^2$ est le Laplacien unidimensionnel. Pour obtenir une solution unique, on sait qu'il est nécessaire de faire des hypothèses supplémentaires, et d'adjoindre à cette équation deux conditions additionnelles. On suppose donc que $u, u'$ et $f$ satisfont la condition () (il est possible de démontrer dans un cadre plus général l'existence de solutions satisfaisant à de telles conditions), et que $f$ et $f'$ sont continues. Supposons aussi par exemple que

$$u(0)=u_0\ ,\quad u'(0)=v_0\ ,$$

où $u_0$ et $v_0$ sont deux nombres fixés. On note $U$ la transformée de Laplace de $u$ , et $F$ la transformée de Laplace de $f$ . Les hypothèses faites assurent l'existence (et l'analyticité) de $F$ dans un domaine $\{p\in\mathbb{C},\Re(p)>s_u\}$ , avec $s_u <\infty$ . on se ramène alors à

$$p^2U(p) -p u_0 - v_0 = F(p)\ ,$$

soit encore, pour $p\ne 0$ ,

$$U(p) = \frac{F(p)+v_0}{p^2} + \frac{u_0}p\ ,$$

dans un domaine de valeurs de $p$ bien choisi: la fonction $U$ ainsi obtenue est analytique dans le domaine $\{p\in\mathbb{C},\Re(p)> \max(s_f,0)\}$ . Cette équation permet d'obtenir une solution $u$ à partir de $f$ , par transformation de Laplace inverse (que nous verrons plus loin).

On peut toutefois utiliser ce que l'on sait déjà, c'est à dire les propriétés de linéarité de la transformation de Laplace, sa relation avec le produit de convolution ainsi que les quelques transformées de Laplace déjà vues.

Ainsi, on sait que l'oiginal de Laplace de la fonction $p\to 1/p$ est la fonction de Heaviside $\Theta$ , et que l'original de Laplace de $p\to 1/p^2$ est la fonction $t\to t\Theta(t)$ . Par ailleurs, l'original de Laplace de la fonction $p\to F(p)/p^2$ est le produit de convolution de $f$ par la fonction $t\to t\Theta(t)$ . On en déduit donc

$$u(t) = \Theta(t) \left( u_0 + v_0 t + \int_0^t s f(t-s)\,ds\right)\ .$$

Transformation de Laplace et intégration

Preuve: Il résulte des hypothèses que l'abscisse d'intégrabilité $s$ de $f$ est tel que $s\le a$ . Comme $f\in L^1_{loc}({\mathbb{R}}^+)$ , $g$ est continue et dérivable, et on a aussi, pour tout $t\ge t_0$ ,

$$\vert g(t)\vert\le A' e^{at}\ ,$$

pour une certaine constante positive $A$ . Il suffit alors d'appliquer le théorème précédent, qui donne

$$F(p)=pG(p)-g(0)=pG(p)\ ,$$

et ceci prouve la proposition. $\spadesuit$