Distributions: définition, propriétés et exemples

Fonctions test et dualité

La notion essentielle pour la théorie des distributions est la notion de dualité.

Un espace des distributions sera le dual, dans un sens que nous allons voir, d'un espace vectoriel de fonctions bien choisi, que l'on appellera espace de fonctions test. On verra dans ce qui suit différents espaces de fonctions test.

Distributions sur ${\mathbb{R}}$

Les distributions sont donc définies par dualité, en considérant pour espace fonctionnel $E$ l'espace des fonctions $C^\infty$ à support compact.

$${\mathcal D}({\mathbb{R}}) = \left\{ f\in C^\infty({\mathbb{R}}),... ...bset{\mathbb{R}},\ \hbox{compact, tel que } f(t)=0\forall t\not\in K\right\}\ .$$ (5.1)

Pour construire le dual ${\mathcal D}'({\mathbb{R}})$ de ${\mathcal D}({\mathbb{R}})$ , il faut définir ce que l'on entend par convergence au sens de ${\mathcal D}({\mathbb{R}})$ . On dira qu'une suite de fonctions $f_n\in{\mathcal D}({\mathbb{R}})$ converge vers $f\in{\mathcal D}({\mathbb{R}})$ si

• il existe un compact $K$ tel que le support de $f_n$ soit contenu dans $K$ pour tout $n$ .
• Pour tout $k\in\mathbb{Z}^+$ , la suite des dérivées $f_n^{(k)}$ converge uniformément vers $f^{(k)}$ .

EXEMPLE 5.1   L'exemple le plus simple est celui de la distribution nulle:

$$0 : f\in{\mathcal D}({\mathbb{R}}) \to 0\ .$$

Les propriétés de linéarité et continuité sont vérifiées facilement.

EXEMPLE 5.2   La distribution de Dirac $\delta_a$ , où $a$ est un réel quelconque, est définie de la façon suivante: pour toute fonction de test $f\in{\mathcal D}({\mathbb{R}})$ ,

$$\left\langle\delta_a,f\right\rangle = f(a)\ .$$ (5.2)

EXEMPLE 5.3   Le peigne de Dirac, noté (lettre de l'alphabet cyrillique), associe à toute fonction test la somme de la série de ses échantillons (ou valeurs ponctuelles) régulièrement espacés.

Comme $f$ est supposée à support compact, cette série est automatiquement convergente (car finie). Le peigne de Dirac s'exprime comme

En quoi les distributions sont elles des généralisations des fonctions ? on va voir que l'espace ${\mathcal D}'({\mathbb{R}})$ contient l'espace $L^1_{loc}({\mathbb{R}})$ ... dans un certain sens, qu'on va maintenant préciser. Rappelons tout d'abord qu'en notant l'indicatrice d'un domaine :

on définit

A toute fonction de $L^1_{loc}({\mathbb{R}})$ on peut associer une distribution de la façon suivante. Soit . Soit l'application définie par

Comme , cette intégrale est absolument convergente. De plus, il est immédiat de vérifier que est une forme linéaire sur ${\mathcal D}'({\mathbb{R}})$ . Le point le plus délicat à vérifier est la continuité de .

Ainsi, à toute fonction localement intégrable $f$ , on peut associer une distribution, appelée distribution régulière .

REMARQUE 5.1   En pratique, on note souvent (abusivement) $f$ la distribution régulière associée à $f$ (et on dit donc , par abus de notation, au lieu de ).

Ainsi, on note parfois une distribution sous la même forme qu'une fonction , et on écrit alors

Par exemple, on associe à la distribution de Dirac une ``fonction généralisée'', notée , qui a la propriété que pour toute $f\in{\mathcal D}({\mathbb{R}})$

Avec ces notations, on peut donc noter

de sorte que l'on écrit

Dans ce qui suit, on essaie au maximum d'éviter de recourir à ce type de notation, qui est cependant parfois plus pratique pour effectuer des calculs.

Propriétés élémentaires

Produit d'une fonction par une distribution

Soit . Le produit de $u$ par une fonction $f\in{\mathcal D}({\mathbb{R}})$ est toujours une fonction . On a donc

EXEMPLE 5.4   Etant donnée la distribution de Dirac $\delta_a$ , et , on a

de sorte que l'on a l'égalité suivante, au sens des distributions

REMARQUE 5.2   Alors que le produit d'une distribution par une fonction $C^\infty$ est bien définie, le produit d'une distribution par une autre distribution n'a généralement pas de sens, c'est à dire ne définit par une nouvelle distribution. Par exemple, le produit n'a pas de sens.

Distributions paires et impaires

On considère l'opérateur parité, défini par

L'action de cet opérateur sur des distributions se définit de la façon suivante. Etant donnée , on note , la distribution définie par

On rappelle qu'une fonction $f$ est paire si , et impaire si .

Il est clair que pour toute fonction paire, la distribution régulière associée est paire:

De même la distribution associée à une fonction impaire est impaire.

Par exemple, on vérifie que la distribution de Dirac $\delta$ est paire, alors que sa dérivée est impaire.

Distributions périodiques

Soit l'opérateur de translation par , défini par

Une fonction $f$ est périodique de période $a$ si . On définit la translatée d'une distribution par

On vérifie facilement que le peigne de Dirac est périodique de période $h$ .