Distributions et fonctions de Green

La théorie des distributions, développée en mathématiques par I.M. Gelfand, puis par L. Schwartz, trouve ses origines dans certains problèmes de physiques. Comme motivation on cite généralement le probléme du calcul du potentiel généré par une ``distribution'' de charge. Lorsque ces charges sont des charges ponctuelles, situées en des points $x_1,\dots x_N\in{\mathbb{R}}^3$ , le potentiel créé en un point $x\in{\mathbb{R}}^3$ s'écrit

$$V(x) = \frac1{4\pi\epsilon_0} \sum_{i=1}^n \frac{q_i}{\vert x-x_i\vert}\ ,$$

où $\epsilon_0$ est la permittivité du vide, $q_i$ représente la charge au point $x_i$ , et on note $\vert x\vert$ la norme Euclidienne du vecteur $x\in{\mathbb{R}}^3$ . Dans le cas d'une distribution volumique, de densité $\rho$ à support dans un domaine $\Omega$ , on écrit alors

$$V(x) = \frac1{4\pi\epsilon_0} \int_\Omega \frac{\rho(x')}{\vert x-x'\vert}\,dx'\ .$$

Dans le cas le plus général, on est amené à considérer simultanément ces différents cas, ce qui complique le formalisme. La théorie des distributions permet de donner une approche unifiée pour ces situations.

Le but de la théorie des distributions est de permettre d'étendre des opérations ``classiques'' sur les fonctions, telles que dérivation, intégration, convolution, transformations de Fourier, à des cadres dans lesquels ces opérations ne sont a priori pas définies.

L'exemple le plus simple est celui de la fonction ``saut'', ou fonction de Heaviside $t\to \Theta(t)$ . Cette fonction, bien que très simple, est difficile à appréhender dans un cadre de calcul intégral, dans la mesure où elle ne tend pas vers zéro à l'infini. Elle est également difficile à manipuler dans un cadre de calcul différentiel, car elle est discontinue en $t=0$ .

Cependant, l'idée intuitive que l'on peut s'en faire est que sa dérivée, si elle avait un sens, devrait être nulle pour tout $t\ne 0$ , et ``infinie'' en $t=0$ . Dirac a donc proposé de lui associer une ``pseudo-fonction'' dérivée, notée $\delta$ , définie par un passage à la limite

$$\delta(x) = \lim_{\epsilon\to 0} \frac1{\epsilon} g\left(\frac{t}{\epsilon}\right)\ ,$$

qui possède bien le comportement désiré. Ici, $g$ est une fonction régulière (par exemple une Gaussienne), d'intégrale égale à 1, possédant un maximum en 0.

On va voir que cette limite n'a pas de sens en tant que fonction usuelle; il s'agit d'une limite d'une suite de fonctions continues, qui ne définit néanmoins pas une fonction continue (puisqu'elle diverge en 0.

La théorie des distributions permet de donner un sens à ce type de limites, via l'introduction d'un concept assez élaboré, le concept de dual d'un espace fonctionnel.