Distributions sur ${\mathbb{R}}^n$

On construit de même les distributions sur ${\mathbb{R}}^n$ . Il suffit d'introduire les espaces des fonctions dont toutes les dérivées sont continues, et

Comme en dimension 1, les exemples ne manquent pas. On définit par exemple les distributions régulières de la même façon qu'en dimension 1: en définissant l'espace des fonction localement intégrables

on associe à toute la distribution régulière , définie par

Avec les mêmes précautions qu'en dimension 1, on a parfois tendance à identifier une fonction localement intégrable avec la distribution régulière associée ... et à associer à des distributions non régulières une ``pseudo-fonction'', ou fonction généralisée, notée , de sorte que l'on écrit

Là encore, il convient d'être très précautionneux avec ce type de notation.

EXEMPLE 5.5   On considère la fonction de Heaviside unidimensionnelle $\Theta$ , et on construit la fonction suivante

Il s'agit d'une variante 3D de la fonction de Heaviside. Cette fonction est localement intégrable, et permet donc de définir une distribution régulière.

Soit maintenant , définie par

(que l'ont note aussi ) est l'indicatrice d'un quadrant de l'espace tridimensionnel, et définit une distribution régulière.

EXEMPLE 5.6   Toujours dans ${\mathbb{R}}^3$ , la distribution de Dirac $\delta_a$ , où est définie de façon similaire à la distribution de Dirac unidimensionnelle: pour ,

Cependant, il est aussi possible de définir des variantes à la distribution de Dirac. Par exemple, étant donnée une surface , la distribution de Dirac associée est définie par

c'est à dire associe à toute fonction test son intégrale sur la surface. Ce type d'exemple est courant en physique, par exemple en électrostatique, où on est couramment amené à considérer des distributions de charge dite superficielles.

On définit de façon similaire une distribution de Dirac associée à une courbe :

Plus généralement, on peut utiliser des distributions unidimensionnelles pour construire des distributions multidimensionnelles, par la méthode du produit tensoriel. Commençons par le cas des distributions régulières.

Dans le cas bidimensionnel, soient . On définit par

Soit la distribution régulière associée. On a alors, pour

$$=$$

$$=$$

$$=$$

De façon générale, étant données , $T$ agissant sur la variable $x$ et sur la variable $y$ , on définira de la façon suivante: pour toute ,

où par exemple représente la dualité par rapport à la variable $x$ , et produit une fonction de $y$ , et représente cette fois la dualité par rapport à la variable $y$ .