Suites de distributions

De nombreuses distributions sont définies via un passage à la limite d'une suite de distributions régulières. La convergence au sens des distributions est définie comme suit.

Supposons que dans ${\mathcal D}'({\mathbb{R}})$ , et considérons la suite des dérivées $p$ -ièmes de . On a pour tout $f\in{\mathcal D}({\mathbb{R}})$

Ainsi, on a montré

Les distributions permettent de donner un sens à des limites de suites de fonctions qui n'existent pas au sens des fonctions, comme le montre l'exemple suivant.

EXEMPLE 5.11   Soit la suite fonctions localement intégrables définies par

La suite ne converge pas au sens usuel quand ; en fait, à l'exception des points $t=0$ et où s'annulle pour tout $n$ , on n'a jamais convergence simple. Par contre, il est possible de montrer que

d'où

au sens des distributions.

Il est tentant de penser que toute suite de fonctions localement intégrables convergeant presque partout vers une fonction localement intégrable converge au sens des distributions vers la distribution régulière correspondante. Ceci n'est pas tout à fait vrai, mais le devient via une hypothèse supplémentaire.

EXEMPLE 5.12   Soit la suite fonctions localement intégrables définies par

On voit que converge presque partout vers la fonction nulle (en fait, partout sauf en 0, où la limite n'est pas définie). Par contre, la limite de la suite (ou plus précisément de la suite des distributions régulières associées) est bien définie au sens des distributions. Soit en effet $f\in{\mathcal D}({\mathbb{R}})$ .

d'où on déduit

au sens des distributions. Ainsi, la limite de cette suite de distributions régulières est dans ce cas une distribution non régulière.

Un cas particulièrement important est celui de la convergence vers la distribution de Dirac, qu'on vient de voir. Plus généralement, on a