Convergence

La notion de convergence d'une suite de nombres est une notion classique. Par contre, dès lors que l'on s'intéresse à des suites de fonctions, il est possible de donner à la notion de convergence de suites des sens différents, qui traduisent des notions plus ou moins précises (ou fines) de convergence.

On résume ici rapidement les notions de convergence les plus usuelles, dans le cas de fonctions d'une variable réelle. Le cas des fonctions de plusieurs variables s'en déduit sans difficulté.

Convergence simple

On dit que la suite de fonctions définies sur un domaine $A$ (soit donc ) converge simplement vers la fonction $f$ si pour tout $t$ , la suite des nombres converge vers le nombre . On traduit cela par:

Cette notion de convergence n'est pas la notion la plus fine, dans la mesure où le nombre peut ici dépendre du point $t$ considéré. Lorsque cet aspect n'est pas souhaitable, on préfère utiliser la notion de convergence uniforme.

Convergence uniforme

La contrainte de convergence uniforme est donc plus exigeante, et suppose que l'on puisse contrôler l'erreur commise en approximant $f$ par $f_n$ de façon indépendante du point étudié.

Bien évidemment, la convergence uniforme entraîne la convergence simple.

Convergence en moyenne

Les deux notions de convergence ci-dessus sont basées sur les valeurs ponctuelles des fonctions étudiées. Or, il est souvent utile de s'abstraire de l'utilisation des valeurs ponctuelles, et de définir des notions de convergence en moyenne.

Soit $p$ un nombre réel positif. On dit que la suite de fonctions définies sur un domaine $A$ (soit donc ) converge vers $f$ en moyenne d'ordre $p$ si la suite tend vers zéro lorsque $n$ tend vers l'infini:

Pour que ces notions aient un sens, il faut bien entendu que les intégrales existent pour tout $n$ . Ceci est assuré dès que l'on se place dans le cadre des espaces de Lebesgue appropriés, c'est à dire si l'on suppose que . Les espaces sont définis dans l'Annexe .

La convergence en moyenne d'ordre $p$ n'implique nullement la convergence uniforme ni la convergence simple. On en verra des contre exemples dans l'étude des séries de Fourier. Par contre, la convergence en moyenne d'ordre $p$ entraîne la convergence simple presque partout.

Convergence simple presque partout

On dit que la suite de fonctions définies sur un domaine $A$ (soit donc ) converge presque partout vers $f$ si pour tout , , à l'exception éventuellement d'un ensemble de mesure nulle.