Théories conformes des champs de Toda à bord
Date(s) : 06/05/2026 iCal
14h00 - 18h00
Jury :
- Juhan Aru (rapporteur) – EPFL
- Raoul Santachiara (rapporteur) – CNRS, Univ. Paris-Saclay
- Eveliina Peltola (examinatrice) – Univ. Aalto, Univ. Bonn
- Antti Kupiainen (examinateur) – Univ. Helsinki
- Colin Guillarmou (examinateur) – CNRS, Univ. Paris-Saclay
- Ctirad Klimcik (examinateur) – Univ. Aix-Marseille
- Pierre Mathieu (président du jury) – Univ. Aix-Marseille
- Rémi Rhodes (directeur de thèse) – Univ. Aix-Marseille
- Baptiste Cerclé (membre invité) – CNRS, Univ. Sorbonne.
Dans le cadre de l’approche probabiliste des théories quantiques des champs, en dimension 2 et dans le cadre Euclidien, on s’intéresse à des modèles présentant certaines propriétés d’invariance par transformations conformes.
Les théories conformes des champs (CFT) de Toda sont des modèles dans lesquels le champ sous-jacent est à valeurs vectorielles, et généralisent la théorie de Liouville. Les modèles de Toda sont censés présenter, en plus de l’invariance conforme, un plus haut niveau de symétrie, encodée par les algèbres W. Dans cette thèse nous nous intéressons au cas où le champ est défini sur une surface de Riemann (compacte, connexe) à bord.
Un premier apport de cette thèse est la construction des modèles de Toda sur les surfaces hyperboliques avec ou sans bords (généralisant la construction de Cerclé-Rhodes-Vargas sur la sphère), grâce à des outils probabilistes. La présence d’une frontière entraîne ici des phénomènes nouveaux par rapport à la CFT de Liouville : différentes conditions au bord sont possibles pour le champ sous-jacent, en lien avec la structure du groupe d’automorphisme de l’algèbre de Lie cible. Nous explorons ces différentes constructions et identifions dans différents cas l’algèbre de symétrie des modèles proposés, au sens des algèbres de vertex.
Dans une seconde partie, nous spécialisons l’étude au cas le plus simple de CFT de Toda après Liouville, c’est-à-dire quand le champ est à valeurs dans l’algèbre sl3(C). Nous étudions ce modèle sur le demi-plan complexe. Dans ce cadre, nous établissons la présence de symétries augmentées sous la forme d’identités de Ward au bord, ce qui était jusqu’alors inconnu en Physique. Ce résultat passe par la définition rigoureuse des descendants associés à l’algèbre W sur le bord, à l’aide d’une procédure de régularisation et d’outils probabilistes. Nous étudions ensuite l’existence de vecteurs singuliers dans le modèle, et découvrons la présence de vecteurs singuliers non nuls au bord jusqu’au niveau 3, ce qui est également un phénomène nouveau par rapport à la littérature existante. Ces propriétés permettent d’établir de nouvelles équations différentielles hypergéométriques de type BPZ, pour certaines fonctions de corrélations de la théorie, à savoir le corrélateur bulk/boundary et la fonction à trois points au bord.
Ces travaux ouvrent la voie au calcul de ces fonctions de corrélation, étape clé de l’implémentation du bootstrap conforme pour les théories de Toda. Ils mettent par ailleurs en évidence des phénomènes nouveaux dans l’étude des théories conformes des champs en dimension deux en présence d’une frontière.
In the framework of the probabilistic approach to quantum field theories, in dimension 2 and in the Euclidean setting, we are interested in models exhibiting certain invariance properties under conformal transformations.
Toda conformal field theories (CFTs) are models in which the underlying field takes values in a vector space and generalize Liouville theory. Toda models are expected to exhibit, in addition to conformal invariance, a higher level of symmetry encoded by W-algebras. In this thesis, we focus on the case where the field is defined on a (compact, connected) Riemann surface with boundary.
A first contribution of this thesis is the construction of Toda models on hyperbolic surfaces, with or without boundary (generalizing the construction by Cerclé-Rhodes-Vargas on the sphere), using probabilistic tools. The presence of a boundary gives rise to new phenomena compared to Liouville CFT: different boundary conditions are possible for the underlying field, depending on the structure of the automorphism group of the target Lie algebra. We explore these different constructions and identify, in various cases, the symmetry algebra of the proposed models, in the sense of vertex algebras.
In a second part, we specialize the study to the simplest Toda CFT after Liouville, that is, when the field takes values in the algebra sl3(C). We study this model on the complex half-plane. In this context, we establish the presence of enhanced symmetries in the form of boundary Ward identities, which was previously unknown in Physics. This result relies on the rigorous definition of descendants associated with the W-algebra on the boundary, using a regularization procedure and probabilistic tools. We then study the existence of singular vectors in the model and discover the presence of nonzero singular vectors on the boundary up to level 3, which is also a new phenomenon compared to the existing literature. These properties allow us to derive new hypergeometric differential equations of BPZ type for certain correlation functions of the theory, namely the bulk/boundary correlator and the boundary three-point function.
These results pave the way for the computation of these correlation functions, a key step in the implementation of the conformal bootstrap for Toda theories. They also highlight new phenomena in the study of two-dimensional conformal field theories in the presence of a boundary.
Emplacement
Saint-Charles - FRUMAM (2ème étage)
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