L'unité d'enseignement ENSMI1U3
« Géométrie et arithmétique 1 (Géométrie et polynômes)  »

Compléter les connaissances sur les vecteurs et sur les nombres complexes. Connaître les différentes représentations des droites et des plans. Acquérir les notions fondamentales sur les polynômes. Apprendre à faire des démonstrations.

• Calcul vectoriel (4 semaines) :
  • le plan R^2 et l'espace R^3 ; opérations sur les vecteurs ;
  • Produit scalaire, orthogonalité et norme ; inégalité de Cauchy-Schwarz et inégalité triangulaire ; déterminant (de 2 vecteurs du plan) et produit vectoriel (de 2 vecteurs de l’espace) ;
  • Bases et repères (quelconques, orthonormés, directs) ; vecteur directeur d’une droite et base d’un plan (de l’espace) ;
  • Système d'équations paramétriques (pour une droite ou un plan) ; vecteur normal à un droite (du plan) ou à un plan (de l'espace) ; équation cartésienne d'une droite (du plan) ou d'un plan (de l’espace) et système d'équations cartésiennes (pour une droite de l’espace).
• Nombres complexes (4 semaines) :
  • Rappels sur les complexes ; notation algébrique ; opérations ; conjugué et module ; calcul de l’inverse; calcul des racines carrées.
  • Formules d’Euler ; exponentielle imaginaire ; argument et notation exponentielle ; calcul du produit et de l’inverse (en notation exponentielle) ; racines n-ièmes de l’unité, puis d’un complexe quelconque ; somme des racines n-ièmes del’unité ;
  • Liens avec le calcul vectoriel ; interprétation géométrique de C et affixe d’un point (du plan) ;
  • Utilisation de C en géométrie plane : problèmes d’angles et de distances, transformations du plan.
• Polynômes (4 semaines) :
  • R[X] et C[X] ; degré d’un polynôme ; opérations sur les polynômes ; dérivé d’un polynôme ; formule du binôme ;/li>
  • racines d’un polynôme ; théorème de d’Alembert-Gauss ; démonstration dans les cas particuliers suivants : degré 2 (coefficients complexes) et degré impair (coefficients réels) ;
  • division euclidienne ; factorisation d’un polynôme ; multiplicité d’une racine ; nombre de racines d’un polynôme (non nul) de degré n

• Parcours MG, MI, MB: 1ere session : NF= 1/4(P1+P2+E+CC) -- 2nde session NF= E
• CUPGE: Contrôle continu intégral NF = (max(DS1,DS2) +DS3 + CC) /3